La distancia entre dos planos paralelos viene determinada por la intersección con ambos planos de una recta perpendicular a ellos. El segmento determinado por los dos puntos de intersección (uno con cada plano) sobre dicha perpendicular será la distancia buscada. Aquí tenéis el ejercicio tipo resuelto paso a paso.
Determina la distancia existente entre los dos planos paralelos.
Aitoreche en su canal de youtube tiene un vídeo en el que lo explica de forma muy clara. Aquí lo tenéis. Un posible ejercicio es éste en el que se nos pide que tracemos a una distancia concreta el plano paralelo a otro.
Este caso se resuelve trazando una recta perpendicular al plano(recordad que la perpendicularidad entre recta y plano se traduce en proyecciones perpendiculares).
Determinamos la intersección de recta y plano (que es un punto) y hallamos la distancia en Verdadera Magnitud que separa ambos planos.
Una vez determinado dicho punto, tan sólo deberemos trazar el plano paralelo al dado en el enunciado que a su vez contenga a dicho punto (para ello debermos utilizar una horizontal o una frontal del plano que buscamos).
La distancia en el Sistema Diédrico es la VERDADERA MAGNITUD (es decir, la medida real) de la separación entre puntos, planos y rectas en el espacio.
En proyecciones dichas medidas se ven reducidas por el efecto de la oblicuidad de dichos elementos respecto a los planos de proyección. Tan sólo habrá coincidencia entre la medida en proyecciones y la dimensión real en los casos de paralelismo con dichos planos.
El ejercicio 14.1 es muy sencillo ya que el segmento resultante de unir ambos puntos es una recta frontal (paralela al PV de proyección) y, en consecuencia vemos en ese plano la distancia en VM.
Aquí tenéis el ejercicio 14.2, en el que se nos pide que hallemos la distancia que separa a dos puntos en Verdadera Magnitud.
El ejercicio, una vez hallado el plano que define la r.m.p. se convierte en éste.
Y aquí tenéis el ejercicio 15.1 en el que se nos pide hallar un punto que diste una distancia determinada de un plano (se trata en realidad de una variante del caso anterior). Debemos recordar que los problemas de distancias como éste, son en realidad ejercicios de perpendicularidad.
Y por último tenéis el segundo de los ejercicios de esta lámina (15.2) en el que se nos pide que hallemos el plano que equidista de dos puntos A y B.
Y aquí tenéis el 15.4en el que se nos pide trazar un plano paralelo a otro a una distancia determinada.
Si, como en el ejercicio 15.3 se nos pide determinar la distancia real entre dos planos paralelos, deberemos en primer lugar determinar la intersección de ambos planos con una recta perpendicular. Tendremos un punto de intersección con cada uno de ellos y después de hallar la distancia en proyecciones determinaremos la real de la forma que hemos visto en esta entrada.
Aquí lo tenéis.
Si la PERPENDICULARIDAD se da entre rectas, las proyecciones de ambas no serán perpendiculares salvo que una de ellas sea paralela a uno de los planos de proyección con lo cuál se proyectarían sobre ese plano formando 90º.(12.1)
TRAZADO DE UNA RECTA QUE SEA PERPENDICULAR A OTRA DADA Si necesitamos trazar una recta perpendicular a otra cuando no se da el paralelismo respecto a los planos de proyección, debemos tener en cuenta que una recta es perpendicular a otra cuando una de las dos está contenida en un plano perpendicular a la otra(recordad que si la perpendicularidad se da entre recta y plano, ésta se aprecia también en proyecciones). Aquí tenéis el ejercicio resuelto y explicado.
DISTANCIAS RECTA-PUNTO (ejercicios 12.3 y 12.4) Aplicación del concepto de perpendicularidad.
Nos dan un punto A y una recta r, y nos piden que tracemos el segmento mínima distancia entre ambos elementos.
Lo primero que debemos hacer es incluir el punto A en un plano perpendicular a la recta.
Recordemos que para que un punto pertenezca a un plano ha de pertenecer a una recta de ese plano.
Además debemos recordar que la perpendicularidad entre recta y plano se aprecia en proyecciones.
El siguiente paso será determinar el punto intersección de la recta dato con el plano perpendicular a ella y que contiene al punto A.
El segmento mínima distancia vendrá dado por la unión de dicho punto de intersección I, y el punto A.
-Ejercicio 12.3 Una recta es frontal.
Y aquí os dejo el ejercicio 12.4 resuelto (Mongge).
Se trata, en realidad, de un ejercicio de Distancias.
EvAU. Modelo 14/15
-Solución
En este caso particular y dado que la recta dada es paralela al plano horizontal, la perpendicularidad entre el segmento BI (distancia entre el punto B y la recta, se verá en VM en la proyección horizontal.
Hemos utilizado, sin embargo un plano perpendicular a r que contuviera al punto A tras trazar una recta horizontal de dicho plano y, dado que el plano resultante es proyectante la intersección con la recta es inmediata.
En el caso de perpendicularidad entre rectas y planos en el SISTEMA DIÉDRICO nos vamos a encontrar con que, -al contrario de lo que ocurría con el paralelismo, ésta sí se va a ver reflejada en las proyecciones sobre los planos de referencia. Esto es, si un plano y una recta son perpendiculares en el espacio, dicha perpendicularidad se verá reflejada en sus proyecciones.
Es importante que dominemos el concepto de PERPENDICULARIDAD, ya que es la base sobre la que determinar las distancias entre planos, entre punto y plano, etc. Un ejemplo podría ser el trazado de la altura de una pirámide recta contenida en un plano oblicuo.
Si se nos pide el trazado de un plano que conteniendo a un punto seaperpendicular a una recta dada deberemos en primer lugar hallar las trazas de una recta que contenga al punto, generalmente una horizontal o frontal de plano, debido a que una de sus proyecciones será paralela a la traza del plano buscado.(Aquí tenéis el ejercicio).
- Recta perpendicular a un plano por uno de sus puntos. Ej 11.1
- El ejercicio 11.2 lo tenéis en el vídeo de debajo y también en una animación con Mongge.
Se trata en realidad de un ejercicio de distancias en proyecciones.
- Recta perpendicular a un plano definido por otras dos que se cortan.Ej 11.3
- Recta perpendicular a un plano definido por su recta de máxima pendiente. Ej 11.4
- Plano perpendicular a una recta conteniendo un punto. Ej 12.1
DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO
La determinación de distancias es la aplicación más usual de la perpendicularidad.
En el siguiente ejercicio hallaremos dicha distancia tan sólo en proyecciones, aunque lo realmente interesante será hallar la verdadera magnitud de dicha distancia (ese será el siguiente concepto que aprenderemos).
Tenéis el ejercicio en dos formatos. En el caso del vídeo está explicado paso a paso, pero os lo subo también en formato MONGGE para que podáis verlo al ritmo que queráis.
Os enlazo otro ejercicio similar a éste. En este caso el plano es paralelo a la Línea de Tierra con lo cual la distancia entre el punto y el plano se verá en Verdadera Magnitud en el plano de perfil. AQUÍ tenéis el ejercicio resuelto. EJERCICIO 12.2 En este ejercicio se nos pide que dibujemos un plano conteniendo a un punto A que es el más cercano a otro que nos dan en proyecciones, P. En realidad nos están diciendo que la recta que une ambos puntos es perpendicular a ese plano y que A es el punto de intersección de ambos.
Para que unplano sea perpendicular a otros dos, deberá ser perpendicular a la recta intersección de los dos primeros (recordad que si una recta y un plano son perpendiculares, esa perpendicularidad se reflejará en sus proyecciones).
Os dejo un vídeo deaitoreche, en el que resuelven este mismo ejercicio de otra forma.
En este caso, en vez de hallar la recta intersección de ambos planos, se hacen pasar por el punto, dos rectas perpendiculares cada una de ellas a uno de los dos planos dados, y finalmente se determina el plano uniendo las trazas homónimas de ambas rectas. AQUÍ lo tenéis resuelto en Mongge con los mismos datos que en el caso anterior, de forma que comprobéis que el resultado en ambos casos es el mismo. Vosotros decidís de que forma os resulta más cómodo realizar el ejercicio o como lo entendéis mejor.
Dos planos serán perpendiculares entre sí, si uno de ellos contiene una recta perpendicular al otro plano.
Si lo que queremos es trazar un plano perpendicular a otro conteniendo un punto, deberemos hacer pasar por dicho punto una recta perpendicular a dicho plano para determinar las trazas del plano buscado.
Un posible ejercicio es éste en el que se nos pide que tracemos a una distancia concreta el plano paralelo a otro.
Este caso se resuelve trazando una recta perpendicular al plano(recordad que la perpendicularidad entre recta y plano se traduce en proyecciones perpendiculares).
Determinamos la intersección de recta y plano (que es un punto) y hallamos la distancia en Verdadera Magnitud que separa ambos planos.
Una vez determinado dicho punto, tan sólo deberemos trazar el plano paralelo al dado en el enunciado que a su vez contenga a dicho punto (para ello debermos utilizar una horizontal o una frontal del plano que buscamos).
El siguiente ejercicio es un caso particular de la perpendicularidad entre rectas, ya que lo que se me está pidiendo es que halle la mínima distancia(segmento) que separa un punto de una recta. El caso es el mismo que hemos visto en la entrada anterior. En primer lugar, debo trazar la recta perpendicular a la dada desde el punto exterior, y determinar después el punto de intersección de dicha perpendicular con ella. La distancia sería el segmento comprendido entre el punto dado y el de la intersección de la recta perpendicular desde el punto, con la recta dada.
Esto que sería tan sencillo de resolver en perspectiva, requiere de un proceso más largo para resolverse enel Sistema Diédrico.
