EJERCICIOS DE TANGENCIAS

-Piezas con tangencias

Aquí tenéis un pequeño vídeo explicándoos una de las piezas que os dí. Contiene tangencias básicas entre rectas y circunferencias (tangente común exterior a dos circunferencias dadas) y entre circunferencias ( con un arco de circunferencia de radio conocido). Tan sólo tenéis que recordar las CONDICIONES DE TANGENCIA en ambos casos:


- En el caso de la tangencia entre rectas y circunferencias, debéis recordar que el radio que pasa por el punto de tangencia siempre es perpendicular a la recta.
- Si hablamos de tangencias entre circunferencias deberéis saber que el punto de tangencia entre ambas está en la linea que une sus centros.

Aquí os dejo resueltas en formato Mongge siete de las piezas que os encargué hacer (la octava la tenéis en el vídeo):
-Pieza 1
-Pieza 2
-Pieza 3
-Pieza 4
-Pieza 5
-Pieza 7
-Pieza 8


Si os situáis sobre la imagen veréis en funcionamiento el mecanismo piñón-cremallera (en este caso con un tornillo sin fin), que transforma el movimiento  lineal en circular y que se vale, como otros muchos, del uso de tangencias (circunferencia tangente a una recta en este caso).


Podéis encontrar tangencias igualmente en los sistemas de engranajes con cadena (tangentes comunes exteriores a dos circunferencias), y en los sistemas de poleas con correa.
Os dejo este vídeo que hice con un programa de simulación llamado Algodoo para Tecnologías de 1º de ESO, en el que reconoceréis, supongo, una pieza denominada "engranaje loco" que, al colocarse entre otros dos engranajes, se encarga de que ambos giren en el mismo sentido, sin modificar por ello su relación de transmisión.
Aquí tenéis un montón de láminas  para que realicéis piezas industriales con tangencias (algunas de ellas ya las habéis hecho).
En muchas ocasiones deberemos aplicar una escala a la hora de representar piezas industriales u otros objetos cuyo tamaño puede ser mayor o menor que el del soporte.
Tenéis una buena explicación sobre como realizar escalas gráficas en la página Dibujotécnico.com.

TANGENCIAS Y ENLACES

El próximo tema que vamos a estudiar es el de TANGENCIAS Y ENLACES centrándonos en los casos más básicos.

Una vez que sepamos hacerlas, realizaremos una serie de piezas que las contienen.

Os dejo una presentación en la que vais a encontrar los casos más relevantes explicados paso a paso. 

  


Ana Isabel Sánchez tiene una serie de vÍdeos sobre tangencias realmente interesantes. Si quieres verlos PULSA AQUÍ
TANGENCIAS ENTRE RECTAS Y CIRCUNFERENCIAS
Rectas tangentes a una circunferencia que pasen por un punto exterior P: Resolución paso a paso.

Rectas tangentes comunes exteriores a dos circunferencias.
Para resolver este ejercicio vamos a reducirlo a uno más sencillo que es el que hemos visto antes, es decir, hallar las rectas tangentes a una circunferencia pasando por un punto exterior P. Para ello, restamos el radio de la circunferencia de menor tamaño a la de mayor radio (ojo hay que restarlo desde un punto de la circunferencia mayor). Si trazamos las rectas tangentes a la circunferencia resultante desde O2 obtendremos dos rectas paralelas a las soluciones que buscamos.
Rectas tangentes comunes interiores a dos circunferencias.
En este caso deberemos sumar a la circunferencia mayor el radio de la menor, para obtener las tangentes solución como paralelas a las trazadas a la circunferencia de radio la suma de los de las dos circunferencias desde el centro-punto O2 (volvemos a simplificar el ejercicio para trabajar con el primero de los supuestos).
Os dejo estos tres ejercicios también en formato Mongge.

A veces se nos puede dar el caso de que necesitemos trazar la recta tangente a un arco de centro inaccesible. Puede resolverse de la siguiente forma.
 Aquí tenéis resueltos en formato MONGGE los casos más importantes de TANGENCIAS Y ENLACES BÁSICOS.
-Tangencias básicas entre rectas y circunferencias (conocido el radio de la circunferencia)
-Tangencias básicas entre rectas y circunferencias (desconociendo el radio)
Dos de estos tres ejercicios os los dejo también en formato GeoGebra. El tercero lo hicimos también cuando vimos el incentro de un triángulo y los exincentros de las circunferencias exinscritas.
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Y en el vídeo tenéis resuelto otro de los ejercicios que vamos a realizar.
TANGENCIAS ENTRE CIRCUNFERENCIAS

El punto de tangencia entre dos circunferencias está en la línea que une sus centros.
-Tangencias entre circunferencias 
-Circunferencias tangentes a otras dos (es el ejercicio que tenéis debajo en la construcción de GeoGebra).
-Circunferencias tangentes a otras dos II


ENLACES
-Enlaces
-Enlaces sobre una línea poligonal quebrada

TANGENCIAS SECUNDARIAS

Aquí tenéis los enlaces para acceder a los ejercicios en formato Mongge:
- Circunferencias del mismo radio tangentes entre sí y a los lados de un triángulo equilátero.
- n circunferencias tangentes entre sí y a su vez tangentes a otra (en este caso 8).

TANGENCIAS POR HOMOTECIA

Tenéis los ejercicios enlazados a las dos imágenes.

Aquí tenéis resuelto el primero de los ejercicios en formato Mongge.

Y en este otro enlace tenéis la solución del segundo.

Aparte de los ejercicios que ya os he dado, haremos estos otros en clase (os los dejo enlazados por si los queréis repetir):

-Tangencias básicas (fundamentos).

-Tangencias entre rectas y circunferencias.

-Tangencias entre circunferencias y enlaces.

-Enlaces: Curva envolvente a una línea poligonal

-Tangencias secundarias

El curso que viene veréis otro tipo de ejercicios de tangencias algo más complejos. No obstante, en ocasiones aparecen ejercicios bastante sencillos en las pruebas PAU o EvAU. Ejercicios como los cuatro que tenéis en esta playlist.

Enlazada a la imagen tenéis una estupenda aplicación flash de Jose Antonio Cuadrado, que trata el tema de forma interactiva, con ejercicios que podéis realizar desde la propia aplicación. Cuenta también con ejercicios de evaluación adaptados a distintos niveles, así como apuntes.

GIROS:EJERCICIOS DE APLICACIÓN

A pesar de que realizar un giro es relativamente sencillo, es difícil sin embargo "ver" en que ocasiones un ejercicio de transformaciones geométricas debe resolverse mediante un giro.
Os dejo uno de los que vamos a realizar sobre papel, en formato Mongge, para que podáis ver el procedimiento por pasos. Se trata del ejercicio nª 11.

Como podréis ver se puede resolver de dos formas:
 En la primera de ellas giraremos la circunferencia 60º, y en la segunda, que os dejo enlazada giraremos la recta el mismo ángulo. El centro de giro será el punto A, que es a su vez uno de los vértices del triángulo equilátero que me piden (hay dos posibles soluciones).
Aquí tenéis el enlace al segundo método para resolver el ejercicio.
Os dejo igualmente un Applet de GeoGebra con este ejercicio para que podáis "manipular" la construcción y modificar los datos iniciales. Aquí tenéis resuelto otro ejercicio de giros que presenta también cierta dificultad.
Se trata en este caso de dibujar los posibles cuadrados que tienen dos de sus vértices apoyados sobre las rectas dadas, conociendo además uno de ellos.
 Existen múltiples variantes de este ejercicio, ya que se os pueden dar dos rectas paralelas, o bien pediros  un triángulo equilátero en vez de un cuadrado.
Tened en cuenta que si las rectas son paralelas las dos soluciones posibles tendrán el mismo tamaño, y que si las rectas son convergentes el tamaño será diferente, tanto en el caso del cuadrado como del triángulo.

Para que podáis comprender mejor como funcionan este tipo de ejercicios os he preparado un Applet de GeoGebra, para que podáis modificar los parámetros y comprobar como en todos los casos podemos conseguir dos triángulos equiláteros apoyados sobre ambas rectas tras girar una de ellas 60º tomando como centro de giro el vértice A, hasta que ésta se corte con la otra en otro de los vértices, con lo que contaré ya con el lado del triángulo equilátero.
Probad a situar el punto A en otro lugar o cambiad la inclinación de las rectas, para comprobar que el resultado se mantiene (varía el tamaño de los triángulos, pero siguen siendo equiláteros).
Es interesante también que comprobéis que el resultado es el mismo tanto si giramos la recta r como si lo hacemos con s. (Tenéis el ejercicio enlazado a la imagen)

Debajo tenéis otra construcción pero en este caso lo que se nos pide trazar no es un triángulo, sino un cuadrado con un vértice apoyado sobre cada recta y el tercero en A, con lo que el giro deberá hacerse de 90º que es el ángulo que existe entre dos vértices consecutivos del polígono (en el caso del triángulo, éste era de 60º).


Aquí tenéis otro ejercicio de aplicación del mismo concepto.