martes, 18 de diciembre de 2018

CURVAS TÉCNICAS

-Lámina curvas técnicas

Las curvas técnicas (óvalos, ovoides y espirales) están formadas por arcos de circunferencia tangentes entre sí. Son fáciles de construir y son muy utilizadas en Ingeniería y en arquitectura.


Los óvalos y ovoides son curvas planas y cerradas, ya que empiezan y terminan en el mismo punto, compuestas por cuatro arcos de circunferencia tangentes interiores dos a dos. 
Los óvalos tienen dos ejes de simetría, mientras que el ovoide (llamado así por su forma de huevo) tan solo dispone uno. Es particularmente interesante que aprendáis a construir el óvalo que sustituye a la elipse en la perspectiva isométrica, y que sería la representación en ese sistema de representación de la circunferencia.


Las espirales son curvas abiertas y planas generadas por un punto que se aleja del núcleo, aumentando constantemente su radio de giro. 



ÓVALOS Ejercicio 2

Ejercicio 1. Construcción del óvalo conocido el EJE MAYOR

Óvalo conocido el eje mayor

Construcción de un óvalo del que se conoce el eje mayor.



Ejercicio 3. ÓVALO DADOS SUS DOS EJES

Aquí tenéis en formato Mongge la llave fija que os he encargado hacer y en la que se utiliza esta curva técnica. 

Tangencias: Llave fija

Dibuja la llave fija dada a escala 1:1


OVOIDES
Os dejo la construcción del OVOIDE conocido su eje mayor CD mediante una animación de Mongge.

Ovoide conocido el eje mayor

Construcción de un OVOIDE conocido su eje mayor CD=120 mm



Ejercicio 4
-

ÓVALO ISOMÉTRICO Aquí podéis ver como trazar el ÓVALO ISOMÉTRICO en las tres caras de un cubo o, lo que es lo mismo, en los tres planos de una isometría.

ÓVALO ISOMÉTRICO

Dibuja los tres óvalos isométricos.



REPRESENTACIÓN DEL CONO Y  EL CILINDRO EN PERSPECTIVA ISOMÉTRICA.
- Representación del cono (Mongge)
- Representación del cilindro (Mongge)
Imprime los siguientes ejercicios sobre el cono y el cilindro. Es importante que te fijes en  colocación de la escuadra y el cartabón (o del cartabón y la regla) para trazar los ejes X, Y y Z en perspectiva isométrica.



Os dejo estos dibujos, para que os ayuden a trazar las siguientes figuras de revolución (Cono, cilindro y cono truncado) y así pongáis en práctica el trazado que habéis aprendido a realizar para representar mediante un ÓVALO la PERSPECTIVA ISOMÉTRICA de una CIRCUNFERENCIA sobre cualquiera de los tres PLANOS. 



Podéis modificar en este applet de GeoGebra tanto el radio de la base como la altura total del cono sin seccionar y la distancia respecto de la base a la que se da el corte. 
En este caso el plano es paralelo a la base y por eso obtenemos una nueva circunferencia, que al ser representada en perspectiva aparece como un óvalo isométrico.

Aunque lo habitual es que esas CIRCUNFERENCIAS en perspectiva formen parte de piezas más complejas.

domingo, 25 de noviembre de 2018

TANGENCIAS Y ENLACES

-Láminas de tangencias.

El próximo tema que vamos a estudiar es el de TANGENCIAS Y ENLACES centrándonos en los casos más básicos.
Una vez que sepamos hacerlas, realizaremos una serie de piezas que las contienen.
Os dejo una presentación en la que vais a encontrar los casos más relevantes explicados paso a paso. 




Ana Isabel Sánchez tiene una serie de vÍdeos sobre tangencias realmente interesantes. Si quieres verlos PULSA AQUÍ
TANGENCIAS ENTRE RECTAS Y CIRCUNFERENCIAS
Rectas tangentes a una circunferencia que pasen por un punto exterior P: Resolución paso a paso.



 Rectas tangentes comunes exteriores a dos circunferencias.
Para resolver este ejercicio vamos a reducirlo a uno más sencillo que es el que hemos visto antes, es decir, hallar las rectas tangentes a una circunferencia pasando por un punto exterior P. Para ello, restamos el radio de la circunferencia de menor tamaño a la de mayor radio (ojo hay que restarlo desde un punto de la circunferencia mayor). Si trazamos las rectas tangentes a la circunferencia resultante desde O2 obtendremos dos rectas paralelas a las soluciones que buscamos.


Rectas tangentes comunes interiores a dos circunferencias.
En este caso deberemos sumar a la circunferencia mayor el radio de la menor, para obtener las tangentes solución como paralelas a las trazadas a la circunferencia de radio la suma de los de las dos circunferencias desde el centro-punto O2 (volvemos a simplificar el ejercicio para trabajar con el primero de los supuestos).


Os dejo estos tres ejercicios también en formato Mongge. Y aquí está el vídeo

TANGENTES COMUNES EXTERIORES E INTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS

Tangentes comunes exteriores e interiores a dos circunferencias




A veces se nos puede dar el caso de que necesitemos trazar la recta tangente a un arco de centro inaccesible. Puede resolverse de la siguiente forma.
Aquí tenéis el ejercicio en vídeo.

Tangente a un arco de circunferencia de centro inaccesible.

Trazado de la recta tangente a un arco de circunferencia por un punto T, siendo el centro de dicho arco inaccesible.



Por si queréis saber el porqué de este método aquí tenéis una imagen aclaratoria.
La tangente y la cuerda de la circunferencia formarían un ángulo semiinscrito del que TM sería bisectriz. El segundo arco nos permite hallar sobre la tangente un punto simétrico de A.

Otro posible método más fácil de comprender sería éste: 


 Aquí tenéis resueltos en formato MONGGE los casos más importantes de TANGENCIAS Y ENLACES BÁSICOS.
-Tangencias básicas entre rectas y circunferencias (conocido el radio de la circunferencia)
 Solución en vídeo
-Tangencias básicas entre rectas y circunferencias (desconociendo el radio)
 Solución en vídeo
Dos de estos tres ejercicios os los dejo también en formato GeoGebra. El tercero lo hicimos también cuando vimos el incentro de un triángulo y los exincentros de las circunferencias exinscritas.



Os dejo enlazados los ejercicios de la segunda de las láminas sobre tangencias básicas, resueltos con Mongge:
- Tres ejercicios de tangencias entre circunferencias. Versión en vídeo
- Enlace de dos rectas paralelas mediante dos arcos iguales conociendo T en las dos rectas.   Ver vídeo
- Enlace de circunferencia y una recta mediante un arco de radio conocido. Enlace al vídeo
Enlace de un arco y una recta con otro arco de radio conocido. Enlace al vídeo

Lámina 33 con 5 ejercicios de tangencias incluído el que aparece resuelto en el vídeo.
TANGENCIAS ENTRE CIRCUNFERENCIAS
El punto de tangencia entre dos circunferencias está en la línea que une sus centros.
-Tangencias entre circunferencias  Ver vídeo
-Circunferencias tangentes a otras dos (es el ejercicio que tenéis debajo en la construcción de GeoGebra). Vídeo
-Circunferencias tangentes a otras dos II  Vídeo


  ENLACES
-Enlaces
-Enlaces sobre una línea poligonal quebrada


Os dejo una serie de ejercicios de tangencias que han aparecido en distintos años en las pruebas PAU de la Comunidad de Madrid, son ejercicios bastante sencillos que podríais resolver ya.
Aquí tenéis los cuatro primeros ejercicios montados para que os resulte más sencillo hacerlos. Tenéis un código QR en cada uno de ellos que enlaza con su vídeo correspondiente.
Por si os interesara manipular las construcciones de GeoGebra, tenéis sus enlaces bajo cada uno de los ejercicios.


Debajo tenéis los enlaces de las construcciones realizadas con GeoGebra:




TANGENCIAS SECUNDARIAS
Aquí tenéis los enlaces para acceder a los ejercicios en formato Mongge:
- Circunferencias del mismo radio tangentes entre sí y a los lados de un triángulo equilátero.
n circunferencias tangentes entre sí y a su vez tangentes a otra (en este caso 8).






TANGENCIAS POR HOMOTECIA
Tenéis los ejercicios enlazados a las dos imágenes.

Aquí tenéis resuelto el primero de los ejercicios en formato Mongge.
Y en este otro enlace tenéis la solución del segundo.
Aparte de los ejercicios que ya os he dado, haremos estos otros en clase (os los dejo enlazados por si los queréis repetir):
-Tangencias básicas (fundamentos).

Otro tipo de tangencias se resuelven por el llamado método de las DILATACIONES, que consiste en simplificar el ejercicio reduciendo, por ejemplo, una de las circunferencias dato a un punto, para a través de una construcción sustitutoria localizar el o los centros de las circunferencias tangentes trazando otra circunferencia concentrica a la circunferencia solución. Podéis ver tres casos en la siguiente playlist. El último de los ejercicios apareció también en una de las pruebas PAU de la Comunidad de Madrid.


Enlazada a la imagen tenéis una estupenda aplicación flash de Jose Antonio Cuadrado, que trata el tema de forma interactiva, con ejercicios que podéis realizar desde la propia aplicación. Cuenta también con ejercicios de evaluación adaptados a distintos niveles, así como apuntes.

sábado, 10 de noviembre de 2018

HOMOTECIA

La HOMOTECIA es una transformación geométrica en el plano en la que, dado el centro de homotecia O y una razón de homotecia K0 que puede ser positiva + o negativa -, a todo punto A le corresponde otro punto A´, alineado con el centro de homotecia O, cumpliéndose que OA´/OA= k.
Se trata de una transformación ISOMÓRFICA dado que la figura que obtenemos tras su aplicación tiene la misma forma, aunque no necesariamente el mismo tamaño. La transformación puede ser así mismo DIRECTA (se conserva el sentido del plano), si K>0  o INVERSA (la figura homotética no conserva el sentido del plano de la original), si K<0.


  • Si los puntos A y A´están al mismo lado de O la homotecia es directa o positiva
  • Si los puntos A y A´están a ambos lados de O la homotecia es inversa o negativa
  • Si K=1 y el centro de Homotecia es propio, tenemos una identidad, donde A=A´.
  • Si K=-1 la homotecia se transforma en una simetría central (o un giro de 180º)
Prueba a modificar, con el deslizador K, la razón de homotecia, así como la forma y la posición tanto de la figura plana original como la situación del centro de homotecia para comprender mejor este concepto.
Comprueba que los segmentos homotéticos son paralelos y que los puntos homotéticos están siempre alineados con el centro de homotecia.

Anabel Sánchez (Profesora de Dibujo Técnico en el SEK) tiene una serie de vídeos muy interesantes con los que podréis comprender mejor este concepto.

-Ejercicios (nivel 1)




 Aquí tenéis una aplicación práctica: Se nos pide hallar la figura homotética de la que me dan, se trata de un hexágono regular y el centro O de homotecia está situado en el exterior de la figura. La figura homotética resultante será de menor tamaño que el hexágono original dado, ya que K=2/5. Puesto que la razón K es positiva el hexágono resultante estará entre el que me dan y el centro de homotecia.


Aquí vemos un caso de HOMOTECIA NEGATIVA o INVERSA. El centro de homotecia O, quedará entre las dos figuras: la dada y la resultante. Dado que K=-2 la figura resultante tendrá el doble de tamaño que la original y sentido contrario. O estará entre ambas figuras.
OA´=2OA´



Aquí tenéis otro caso de homotecia negativa o inversa, en la que además el centro de homotecia es un vértice del polígono.



Y un ejercicio más de HOMOTECIA POSITIVA, pero con la peculiaridad de que el centro de homotecia está en el centro del polígono.
Aquí os dejo algunos de los ejercicios que os he planteado resueltos.
Recordad que la HOMOTECIA es un tipo especial de semejanza entre figuras, de forma que los vértices de la figura original y su transformada están alineados con un punto denominado centro de homotecia.
Los lados de ambas figuras deben ser además paralelos entre sí, tanto si la homotecia es positiva como si es negativa.
EJERCICIOS
- Nivel 2 (ejercicios)

1.-Dados los transformados de los puntos E y D, determina tanto el centro de la Homotecia como el polígono resultante.


 - Solución
- Solución en vídeo


2.-Dibuja la figura homotética de la dada en una homotecia de centro el vértice A y razón K=2/3


- Solución
-Solución en vídeo



3.-Dado el hexágono dibujado, hallar su homotético de centro O y razón K=1/2
 -Solución
- Solución en vídeo


4.-Dibuja un cuadrado cuyos vértices se hallen sobre los del  triángulo dado.
-Solución(Mongge)
- Solución en vídeo
-Solución con GeoGebra






5.-Dadas las rectas r y s y el punto P, trazar otra recta concurrente con ellas y que pase por el punto dado. 
-Solución con GeoGebra





6.-Dibuja una figura semejante a la dada, de área 3 veces mayor. Recuerda que la relación de áreas es k2.


Solución con GeoGebra

https://ggbm.at/pBqBufarEl ejercicio número 6 es algo más complicado, dado que se trata de un ejercico de homotecia en el que se nos pide que tracemos una figura plana semejante a la anterior pero con un área 3 veces mayor. La razón de homotecia entre áreas equivale a la √  del número que nos den, en este caso 3.
Lo tenéis resuelto con GeoGebra y enlazado a la imagen. Recordad que para hallar la raíz cuadrada de un número utilizábamos el Teorema de la altura.







Por curiosidad y por si os interesa os dejo enlazados una par de ejercicios PAU en los que se utiliza esta transformación geométrica:
- PAU 2002/03
- PAU 2008/09