TANGENCIAS Y ENLACES

-Láminas de tangencias.

El próximo tema que vamos a estudiar es el de TANGENCIAS Y ENLACES centrándonos en los casos más básicos.

Una vez que sepamos hacerlas, realizaremos una serie de piezas que las contienen.

Os dejo una presentación en la que vais a encontrar los casos más relevantes explicados paso a paso. 

Tema 5 Tangencias Y Enlaces from qvrrafa

Ana Isabel Sánchez tiene una serie de vÍdeos sobre tangencias realmente interesantes. Si quieres verlos PULSA AQUÍ

TANGENCIAS ENTRE RECTAS Y CIRCUNFERENCIAS
Rectas tangentes a una circunferencia que pasen por un punto exterior P: Resolución paso a paso.

 Rectas tangentes comunes exteriores a dos circunferencias.
Para resolver este ejercicio vamos a reducirlo a uno más sencillo que es el que hemos visto antes, es decir, hallar las rectas tangentes a una circunferencia pasando por un punto exterior P. Para ello, restamos el radio de la circunferencia de menor tamaño a la de mayor radio (ojo hay que restarlo desde un punto de la circunferencia mayor). Si trazamos las rectas tangentes a la circunferencia resultante desde O2 obtendremos dos rectas paralelas a las soluciones que buscamos.


Rectas tangentes comunes interiores a dos circunferencias.
En este caso deberemos sumar a la circunferencia mayor el radio de la menor, para obtener las tangentes solución como paralelas a las trazadas a la circunferencia de radio la suma de los de las dos circunferencias desde el centro-punto O2 (volvemos a simplificar el ejercicio para trabajar con el primero de los supuestos).


Os dejo estos tres ejercicios también en formato Mongge. Y aquí está el vídeo



A veces se nos puede dar el caso de que necesitemos trazar la recta tangente a un arco de centro inaccesible. Puede resolverse de la siguiente forma.
Aquí tenéis el ejercicio en vídeo.


Por si queréis saber el porqué de este método aquí tenéis una imagen aclaratoria.

 

La tangente y la cuerda de la circunferencia formarían un ángulo semiinscrito del que TM sería bisectriz. El segundo arco nos permite hallar sobre la tangente un punto simétrico de A.

Otro posible método más fácil de comprender sería éste: 

-Mongge

-Vídeo

 Aquí tenéis resueltos en formato MONGGE los casos más importantes de TANGENCIAS Y ENLACES BÁSICOS.
-Tangencias básicas entre rectas y circunferencias (conocido el radio de la circunferencia)
 Solución en vídeo
-Tangencias básicas entre rectas y circunferencias (desconociendo el radio)
 Solución en vídeo
Dos de estos tres ejercicios os los dejo también en formato GeoGebra. El tercero lo hicimos también cuando vimos el incentro de un triángulo y los exincentros de las circunferencias exinscritas.



Os dejo enlazados los ejercicios de la segunda de las láminas sobre tangencias básicas, resueltos con Mongge:
- Tres ejercicios de tangencias entre circunferencias. Versión en vídeo
- Enlace de dos rectas paralelas mediante dos arcos iguales conociendo T en las dos rectas.   Ver vídeo
- Enlace de circunferencia y una recta mediante un arco de radio conocido. Enlace al vídeo
- Enlace de un arco y una recta con otro arco de radio conocido. Enlace al vídeo

Lámina 33 con 5 ejercicios de tangencias incluído el que aparece resuelto en el vídeo.
TANGENCIAS ENTRE CIRCUNFERENCIAS

El punto de tangencia entre dos circunferencias está en la línea que une sus centros.
-Tangencias entre circunferencias  Ver vídeo
-Circunferencias tangentes a otras dos (es el ejercicio que tenéis debajo en la construcción de GeoGebra). Vídeo
-Circunferencias tangentes a otras dos II  Vídeo


  ENLACES
-Enlaces
-Enlaces sobre una línea poligonal quebrada


Os dejo una serie de ejercicios de tangencias que han aparecido en distintos años en las pruebas PAU de la Comunidad de Madrid, son ejercicios bastante sencillos que podríais resolver ya.
Aquí tenéis los cuatro primeros ejercicios montados para que os resulte más sencillo hacerlos. Tenéis un código QR en cada uno de ellos que enlaza con su vídeo correspondiente.
Por si os interesara manipular las construcciones de GeoGebra, tenéis sus enlaces bajo cada uno de los ejercicios.


Debajo tenéis los enlaces de las construcciones realizadas con GeoGebra:

• Ejercicio 1
• Ejercicio 2
• Ejercicio 3

TANGENCIAS SECUNDARIAS

Aquí tenéis los enlaces para acceder a los ejercicios en formato Mongge:
- Circunferencias del mismo radio tangentes entre sí y a los lados de un triángulo equilátero.
- n circunferencias tangentes entre sí y a su vez tangentes a otra (en este caso 8).






TANGENCIAS POR HOMOTECIA

Tenéis los ejercicios enlazados a las dos imágenes.

Aquí tenéis resuelto el primero de los ejercicios en formato Mongge.

Y en este otro enlace tenéis la solución del segundo.

Aparte de los ejercicios que ya os he dado, haremos estos otros en clase (os los dejo enlazados por si los queréis repetir):

-Tangencias básicas (fundamentos).

-Tangencias entre rectas y circunferencias.

-Tangencias entre circunferencias y enlaces.

-Enlaces: Curva envolvente a una línea poligonal

-Tangencias secundarias

Otro tipo de tangencias se resuelven por el llamado método de las DILATACIONES, que consiste en simplificar el ejercicio reduciendo, por ejemplo, una de las circunferencias dato a un punto, para a través de una construcción sustitutoria localizar el o los centros de las circunferencias tangentes trazando otra circunferencia concentrica a la circunferencia solución. Podéis ver tres casos en la siguiente playlist. El último de los ejercicios apareció también en una de las pruebas PAU de la Comunidad de Madrid.

Enlazada a la imagen tenéis una estupenda aplicación flash de Jose Antonio Cuadrado, que trata el tema de forma interactiva, con ejercicios que podéis realizar desde la propia aplicación. Cuenta también con ejercicios de evaluación adaptados a distintos niveles, así como apuntes.

HOMOTECIA

La HOMOTECIA es una transformación geométrica en el plano en la que, dado el centro de homotecia O y una razón de homotecia K≠0 que puede ser positiva + o negativa -, a todo punto A le corresponde otro punto A´, alineado con el centro de homotecia O, cumpliéndose que OA´/OA= k.
Se trata de una transformación ISOMÓRFICA dado que la figura que obtenemos tras su aplicación tiene la misma forma, aunque no necesariamente el mismo tamaño. La transformación puede ser así mismo DIRECTA (se conserva el sentido del plano), si K>0  o INVERSA (la figura homotética no conserva el sentido del plano de la original), si K<0.

• Si los puntos A y A´están al mismo lado de O la homotecia es directa o positiva
• Si los puntos A y A´están a ambos lados de O la homotecia es inversa o negativa
• Si K=1 y el centro de Homotecia es propio, tenemos una identidad, donde A=A´.
• Si K=-1 la homotecia se transforma en una simetría central (o un giro de 180º)

Prueba a modificar, con el deslizador K, la razón de homotecia, así como la forma y la posición tanto de la figura plana original como la situación del centro de homotecia para comprender mejor este concepto.

Comprueba que los segmentos homotéticos son paralelos y que los puntos homotéticos están siempre alineados con el centro de homotecia.

Anabel Sánchez (Profesora de Dibujo Técnico en el SEK) tiene una serie de vídeos muy interesantes con los que podréis comprender mejor este concepto.

-Ejercicios (nivel 1)




 Aquí tenéis una aplicación práctica: Se nos pide hallar la figura homotética de la que me dan, se trata de un hexágono regular y el centro O de homotecia está situado en el exterior de la figura. La figura homotética resultante será de menor tamaño que el hexágono original dado, ya que K=2/5. Puesto que la razón K es positiva el hexágono resultante estará entre el que me dan y el centro de homotecia.


Aquí vemos un caso de HOMOTECIA NEGATIVA o INVERSA. El centro de homotecia O, quedará entre las dos figuras: la dada y la resultante. Dado que K=-2 la figura resultante tendrá el doble de tamaño que la original y sentido contrario. O estará entre ambas figuras.

OA´=2OA´

Aquí tenéis otro caso de homotecia negativa o inversa, en la que además el centro de homotecia es un vértice del polígono.



Y un ejercicio más de HOMOTECIA POSITIVA, pero con la peculiaridad de que el centro de homotecia está en el centro del polígono.
Aquí os dejo algunos de los ejercicios que os he planteado resueltos.
Recordad que la HOMOTECIA es un tipo especial de semejanza entre figuras, de forma que los vértices de la figura original y su transformada están alineados con un punto denominado centro de homotecia.
Los lados de ambas figuras deben ser además paralelos entre sí, tanto si la homotecia es positiva como si es negativa.
EJERCICIOS
- Nivel 2 (ejercicios)

1.-Dados los transformados de los puntos E y D, determina tanto el centro de la Homotecia como el polígono resultante.

 - Solución
- Solución en vídeo

2.-Dibuja la figura homotética de la dada en una homotecia de centro el vértice A y razón K=2/3

- Solución
-Solución en vídeo

3.-Dado el hexágono dibujado, hallar su homotético de centro O y razón K=1/2

 -Solución
- Solución en vídeo

4.-Dibuja un cuadrado cuyos vértices se hallen sobre los del  triángulo dado.

-Solución(Mongge)
- Solución en vídeo

-Solución con GeoGebra

5.-Dadas las rectas r y s y el punto P, trazar otra recta concurrente con ellas y que pase por el punto dado. 

-Solucióncon Mongge
- Solución en vídeo

-Solución con GeoGebra

6.-Dibuja una figura semejante a la dada, de área 3 veces mayor. Recuerda que la relación de áreas es k2.

Solución con GeoGebra

El ejercicio número 6 es algo más complicado, dado que se trata de un ejercico de homotecia en el que se nos pide que tracemos una figura plana semejante a la anterior pero con un área 3 veces mayor. La razón de homotecia entre áreas equivale a la √  del número que nos den, en este caso 3.
Lo tenéis resuelto con GeoGebra y enlazado a la imagen. Recordad que para hallar la raíz cuadrada de un número utilizábamos el Teorema de la altura.







Por curiosidad y por si os interesa os dejo enlazados una par de ejercicios PAU en los que se utiliza esta transformación geométrica:
- PAU 2002/03
- PAU 2008/09

GIROS: EJERCICIOS

-Ejercicios básicos1
-Ejercicios básicos 2
GIRO:
Al girar una figura plana le aplicamos un movimiento de rotación alrededor de un punto que funciona como centro de dicho giro. Dicha rotación puede hacerse tanto en sentido horario como antihorario.
Si unimos dos puntos homólogos con el centro de giro tendremos el ángulo de rotación.
Haz clic en la imagen para ver la construcción.

En el caso de los giros vamos a aprender a realizar dicha transformación situando el centro de giro en tres posibles situaciones:
- Con el centro de giro en un vértice de la figura.
- Con el centro en su interior.
- Con el centro,O de giro en un punto exterior.

Recordad que los puntos que son homólogos de sí mismos se llaman puntos dobles. En el primer supuesto el vértice B, al ser además el centro del giro, es un punto doble.


 Por si se os resisten los ejercicios os los dejo resueltos en formato Mongge.

Solución

-Solución en vídeo

Aquí tenéis también un applet de GeoGebra para que veáis de qué dos formas se puede girar una recta (nos hará falta en más de un ejercicio de aplicación de este concepto), y modificando la situación del centro, el ángulo de giro o incluso la posición de la recta , podréis comprobar que el resultado es el mismo.

A pesar de que realizar un giro es relativamente sencillo, es difícil sin embargo "ver" en que ocasiones un ejercicio de transformaciones geométricas debe resolverse mediante un giro.
Os dejo uno de los que vamos a realizar sobre papel, en formato Mongge, para que podáis ver el procedimiento por pasos. Se trata del ejercicio nª 11.

Como podréis ver se puede resolver de dos formas:
 En la primera de ellas giraremos la circunferencia 60º, y en la segunda, que os dejo enlazada giraremos la recta el mismo ángulo. El centro de giro será el punto A, que es a su vez uno de los vértices del triángulo equilátero que me piden (hay dos posibles soluciones).

-Solución

-Solución en vídeo

Aquí tenéis el enlace al segundo método para resolver el ejercicio.
Os dejo igualmente un Applet de GeoGebra con este ejercicio para que podáis "manipular" la construcción y modificar los datos iniciales.


Aquí tenéis resuelto otro ejercicio de giros que presenta también cierta dificultad.
Se trata en este caso de dibujar los posibles cuadrados que tienen dos de sus vértices apoyados sobre las rectas dadas, conociendo además uno de ellos.
 Existen múltiples variantes de este ejercicio, ya que se os pueden dar dos rectas paralelas, o bien pediros  un triángulo equilátero en vez de un cuadrado.
Tened en cuenta que si las rectas son paralelas las dos soluciones posibles tendrán el mismo tamaño, y que si las rectas son convergentes el tamaño será diferente, tanto en el caso del cuadrado como del triángulo.

-Solución
-Solución en vídeo


Para que podáis comprender mejor como funcionan este tipo de ejercicios os he preparado un Applet de GeoGebra, para que podáis modificar los parámetros y comprobar como en todos los casos podemos conseguir dos triángulos equiláteros apoyados sobre ambas rectas tras girar una de ellas 60º tomando como centro de giro el vértice A, hasta que ésta se corte con la otra en otro de los vértices, con lo que contaré ya con el lado del triángulo equilátero.
Probad a situar el punto A en otro lugar o cambiad la inclinación de las rectas, para comprobar que el resultado se mantiene (varía el tamaño de los triángulos, pero siguen siendo equiláteros).
Es interesante también que comprobéis que el resultado es el mismo tanto si giramos la recta r como si lo hacemos con s. (Tenéis el ejercicio enlazado a la imagen)



Otro  posible ejercicio podría ser éste, en el que se nos dan dos circunferencias y se nos pide que, con vértice en un punto A, situemos dos triángulos equiáteros de forma que tengan un vértice sobre cada una de las circunferencias dadas.
Y aquí tenéis otro ejercicio más en dos versiones (Mongge y GeoGebra).

-Solución
-Solución en vídeo



Os dejo en formato vídeo una playlist con los cinco ejercicios que hemos visto por si os pudiera ayudar a la hora de repasarlos.  
EvAU Modelo 17-18

 

-Solución

SIMETRÍA

-Ejercicios de simetría (1)
-Ejercicios de simetría  (2)

Ejercicio 1.2

-Solución
-Solución en vídeo

Ejercicio 2,2

-Solución
- Solución en vídeo

Los ejercicios sobre mesa de billar son un típico ejemplo de la aplicación del concepto de SIMETRÍA.
Para resolverlos debemos saber que el ángulo de salida de la bola de billar al golpear la banda es igual al ángulo de incidencia.

En este ejercicio se nos pide que introduzcamos la bola roja en la tronera mediante un golpe a dos bandas.
Si queréis ver cómo puede resolverse acceded a la construcción enlazada a la imagen.


En este segundo ejercicio el golpe no debe ser a dos, sino a tres bandas. El enlace está igualmente en la imagen.
 Es interesante que manipuléis ambas construcciones,  para comprobar como afecta al resultado la posición de partida de la bola.



Éste ejercicio salió también en las pruebas PAU y se resuelve aplicando el concepto de simetría:

PAU (Madrid) septiembre 2014 B1 Dados la recta r, la recta s y la circunferencia de centro O, dibuja los posibles cuadrados que tengan una diagonal comprendida en s, un vértice en la circunferencia y otro en la recta r.

TRASLACIÓN

La traslación es una sencilla transformación geométrica en la que desplazamos una figura plana según un vector orientado con una medida determinada.
Se trata de una transformación isométrica (mantiene las medidas) e isomórfica (la forma de la figura trasladada es la misma), con lo que ambas figuras serán congruentes. También decimos de ella que es una transformación directa ya que conserva el sentido del plano.


EJERCICIO CUADERNO (lámina 8, ejercicio 4)

- Solución 

EJERCICIOS
Lámina
1.-Consigue mediante una transformación que el triángulo ABC tenga el vértice C apoyado sobre la recta s y el lado AB esté situado sobre la recta r. 

2.-Traza los segmentos de una longitud BC , que tengan además la misma dirección que dicho segmento y estén además apoyados sobre la recta s y la circunferencia c.

3.-Dadas las circunferencias O y O´y el segmento d, situar un segmento del mismo tamaño y paralelo a éste apoyado sobre ambas circunferencias.

-Solución

4.-Dadas las circunferencias O y O´y el segmento d, situar un segmento del mismo tamaño y paralelo a éste apoyado sobre ambas circunferencias. 

-Solución