TANGENCIAS Y ENLACES

-Láminas de tangencias.

El próximo tema que vamos a estudiar es el de TANGENCIAS Y ENLACES centrándonos en los casos más básicos.

Una vez que sepamos hacerlas, realizaremos una serie de piezas que las contienen.

Os dejo una presentación en la que vais a encontrar los casos más relevantes explicados paso a paso. 

Tema 5 Tangencias Y Enlaces from qvrrafa

Ana Isabel Sánchez tiene una serie de vÍdeos sobre tangencias realmente interesantes. Si quieres verlos PULSA AQUÍ

TANGENCIAS ENTRE RECTAS Y CIRCUNFERENCIAS
Rectas tangentes a una circunferencia que pasen por un punto exterior P: Resolución paso a paso.

 Rectas tangentes comunes exteriores a dos circunferencias.
Para resolver este ejercicio vamos a reducirlo a uno más sencillo que es el que hemos visto antes, es decir, hallar las rectas tangentes a una circunferencia pasando por un punto exterior P. Para ello, restamos el radio de la circunferencia de menor tamaño a la de mayor radio (ojo hay que restarlo desde un punto de la circunferencia mayor). Si trazamos las rectas tangentes a la circunferencia resultante desde O2 obtendremos dos rectas paralelas a las soluciones que buscamos.


Rectas tangentes comunes interiores a dos circunferencias.
En este caso deberemos sumar a la circunferencia mayor el radio de la menor, para obtener las tangentes solución como paralelas a las trazadas a la circunferencia de radio la suma de los de las dos circunferencias desde el centro-punto O2 (volvemos a simplificar el ejercicio para trabajar con el primero de los supuestos).


Os dejo estos tres ejercicios también en formato Mongge. Y aquí está el vídeo



A veces se nos puede dar el caso de que necesitemos trazar la recta tangente a un arco de centro inaccesible. Puede resolverse de la siguiente forma.
Aquí tenéis el ejercicio en vídeo.


Por si queréis saber el porqué de este método aquí tenéis una imagen aclaratoria.

 

La tangente y la cuerda de la circunferencia formarían un ángulo semiinscrito del que TM sería bisectriz. El segundo arco nos permite hallar sobre la tangente un punto simétrico de A.

Otro posible método más fácil de comprender sería éste: 

-Mongge

-Vídeo

 Aquí tenéis resueltos en formato MONGGE los casos más importantes de TANGENCIAS Y ENLACES BÁSICOS.
-Tangencias básicas entre rectas y circunferencias (conocido el radio de la circunferencia)
 Solución en vídeo
-Tangencias básicas entre rectas y circunferencias (desconociendo el radio)
 Solución en vídeo
Dos de estos tres ejercicios os los dejo también en formato GeoGebra. El tercero lo hicimos también cuando vimos el incentro de un triángulo y los exincentros de las circunferencias exinscritas.



Os dejo enlazados los ejercicios de la segunda de las láminas sobre tangencias básicas, resueltos con Mongge:
- Tres ejercicios de tangencias entre circunferencias. Versión en vídeo
- Enlace de dos rectas paralelas mediante dos arcos iguales conociendo T en las dos rectas.   Ver vídeo
- Enlace de circunferencia y una recta mediante un arco de radio conocido. Enlace al vídeo
- Enlace de un arco y una recta con otro arco de radio conocido. Enlace al vídeo

Lámina 33 con 5 ejercicios de tangencias incluído el que aparece resuelto en el vídeo.
TANGENCIAS ENTRE CIRCUNFERENCIAS

El punto de tangencia entre dos circunferencias está en la línea que une sus centros.
-Tangencias entre circunferencias  Ver vídeo
-Circunferencias tangentes a otras dos (es el ejercicio que tenéis debajo en la construcción de GeoGebra). Vídeo
-Circunferencias tangentes a otras dos II  Vídeo


  ENLACES
-Enlaces
-Enlaces sobre una línea poligonal quebrada


Os dejo una serie de ejercicios de tangencias que han aparecido en distintos años en las pruebas PAU de la Comunidad de Madrid, son ejercicios bastante sencillos que podríais resolver ya.
Aquí tenéis los cuatro primeros ejercicios montados para que os resulte más sencillo hacerlos. Tenéis un código QR en cada uno de ellos que enlaza con su vídeo correspondiente.
Por si os interesara manipular las construcciones de GeoGebra, tenéis sus enlaces bajo cada uno de los ejercicios.


Debajo tenéis los enlaces de las construcciones realizadas con GeoGebra:

• Ejercicio 1
• Ejercicio 2
• Ejercicio 3

TANGENCIAS SECUNDARIAS

Aquí tenéis los enlaces para acceder a los ejercicios en formato Mongge:
- Circunferencias del mismo radio tangentes entre sí y a los lados de un triángulo equilátero.
- n circunferencias tangentes entre sí y a su vez tangentes a otra (en este caso 8).






TANGENCIAS POR HOMOTECIA

Tenéis los ejercicios enlazados a las dos imágenes.

Aquí tenéis resuelto el primero de los ejercicios en formato Mongge.

Y en este otro enlace tenéis la solución del segundo.

Aparte de los ejercicios que ya os he dado, haremos estos otros en clase (os los dejo enlazados por si los queréis repetir):

-Tangencias básicas (fundamentos).

-Tangencias entre rectas y circunferencias.

-Tangencias entre circunferencias y enlaces.

-Enlaces: Curva envolvente a una línea poligonal

-Tangencias secundarias

Otro tipo de tangencias se resuelven por el llamado método de las DILATACIONES, que consiste en simplificar el ejercicio reduciendo, por ejemplo, una de las circunferencias dato a un punto, para a través de una construcción sustitutoria localizar el o los centros de las circunferencias tangentes trazando otra circunferencia concentrica a la circunferencia solución. Podéis ver tres casos en la siguiente playlist. El último de los ejercicios apareció también en una de las pruebas PAU de la Comunidad de Madrid.

Enlazada a la imagen tenéis una estupenda aplicación flash de Jose Antonio Cuadrado, que trata el tema de forma interactiva, con ejercicios que podéis realizar desde la propia aplicación. Cuenta también con ejercicios de evaluación adaptados a distintos niveles, así como apuntes.