PAU 2014 (Madrid): SOLUCIONES

Aquí tenéis el examen de la PAU de este año.
Os dejo las soluciones de cinco de los ejercicios, así como un enlace para el ejercicio A3, que os dejo construido con SketchUp para que podáis manipular la pieza.

Ejercicio A1
Hallar los puntos del plano cuyas tangentes a las circunferencias de centros O y O1 dadas,  formen ángulos de 45º y 60º grados respectivamente. Justificar razonadamente los conceptos utilizados.

Os dejo la solución en forma de  applet interactivo de GeoGebra, de modo que podáis modificar las posiciones de las circunferencias, sus radios, así como los ángulos bajo los que se ven éstas.
Se trata en realidad de localizar los puntos de intersección de dos lugares geométricos, dos circunferencias concéntricas que se cortarán (si se cortan) en dos puntos que cumplirán simultáneamente ambas premisas.
Existen en este caso dos soluciones, pero podría ocurrir que no hubiera ninguna, o tan sólo una si esas circunferencias fueran tangentes.
El ejercicio se resuelve construyendo dos deltoides, uno por cada circunferencia,  dos de cuyos lados serían radios de la circunferencia que formarían a su vez 90º con las tangentes desde uno de los puntos buscados.
Dichos segmentos de tangente serías los otros dos lados iguales del cuadrilátero.

Dado que los ángulos de un cuadrilátero suman 360º y conocemos tres de ellos, es muy fácil deducir el cuarto para construirlo. Ese cuarto vértice estaría situado sobre el centro de cada una de esas circunferencias y su ángulo sería el suplementario del que se nos da en el enunciado.
Los puntos A y B son los puntos desde los que se verán la circunferencias-dato bajo  el ángulo dado.

Ejercicio A2

Tenéis el enunciado en el propio ejercicio.
Para realizar este ejercicio es preciso recordar que el paralelismo, cuando se da entre rectas se aprecia también en proyecciones.
Es necesario también saber que para que una recta contenga a un punto, las proyecciones de éste deben situarse sobre las de la recta.
Una recta de máxima pendiente de un plano forma en su proyección horizontal un ángulo de 90º con la traza horizontal del plano. Tras hallar la recta de máxima pendiente del plano que además contiene al punto A, podremos determinar las trazas de dicha recta que serán puntos por los que deberán pasar necesariamente el plano que se nos pide.
Trazaremos en primer lugar la traza horizontal formando 90º con la proyección horizontal de la recta, y una vez conocido el vértice del plano, podremos determinar su traza vertical que pasará además por la traza V de la recta.
Ejercicio A3
Dibujar el corte AB en su posición normalizada y acotar en la vista resultante todas las dimensiones posibles, según normativa.

Por increíble que parezca las vistas de esta pieza contienen errores. Os dejo enlazada la corrección y posterior solución que Alberto García le da desde el Colegio El Prado. 
Dicho error está confirmado por la coordinadora de la PAU de la UAM. 

Para que comprobéis las diferencias entre el perfil dado y el correcto os dejo un applet de GeoGebra.
Activando la casilla correspondiente podréis ver alternativamente uno u otro.

Os dejo la pieza realizada con SketchUp con la corrección correspondiente.
Por si desearais verla en Realidad Aumentada con Aumentaty os dejo también el enlace y este otro para verlo con otro material.

Ejercicio B1
Trazar las circunferencias tangentes exteriores entre sí, de centros O, O1 y O2.
Justificar razonadamente los conceptos geométricos utilizados.

El Incentro del triángulo que se forma al unir los tres centros será el centro radical de las tres circunferencias tangentes.


Ejercicio B2
El segmento con proyección horizontal r1 es la arista de un cubo apoyado en el plano horizontal de proyección y situado íntegramente en el primer cuadrante. Trazar la sección producida por el plano alfa en dicho cubo.
El ejercicio es muy similar a éste que os dejo resuelto con Mongge y que hice hace ya algunos meses.
Dado que la arista se ve en verdadera magnitud es muy sencillo trazar el cuadrado en proyección horizontal y hallar después la proyección vertical de dicho cubo.

Existen tres métodos para resolver este ejercicio, podéis verlos todos en el blog de Dibujo Técnico del colegio El Prado
Ejercicio B3 
Representar el dibujo isométrico (respetando la posición del alzado en la perspectiva) de la pieza dada por sus proyecciones normalizadas (según el sistema europeo de representación), indicando aristas vistas y ocultas.
¡Ojo, que a pesar de que la vista que se nos da es la izquierda (situada a la derecha del alzado según el Sistema Europeo) la que se va a ver en el dibujo isométrico (no se aplica coeficiente de reducción) es, sin embargo, la derecha!
Se nos marca ya en el ejercicio la posición del alzado.


Podéis manipular la pieza que tenéis debajo para colocarla de forma que podáis comprobar su correspondencia con las vistas diédricas.
Está realizada con SketchUp y subida a la galería 3D Warehouse.



Si quereis ver la pieza en Realidad Aumentada con Aumentaty haced clic aquí para descargaros la escena.
Para poder visualizarla es necesario descargar el visor de Aumentaty e imprimir el marcador que viene con la escena.

Mediante el abatimiento de un plano oblicuo voy a poder determinar la verdadera magnitud de la figura plana contenida en él. Aquí tenéis un ejercicio muy similar a éste. En este caso la figura plana es un pentágono regular. Por si no recordáis como se hace el pentágono inscrito en una circunferencia aquí lo tenéis.
Intenta realizar en papel estos dos ejercicios, así como esta otra lámina
Debajo tenéis los ejercicios 17.1, 17.2 y 18.3 resueltos.



De cara al próximo examen os dejo unos cuantos ejercicios para que podáis repasar lo que hemos visto durante el último trimestre (no está todo, pero os puede venir bien).

ABATIMIENTOS: PUNTO, RECTA Y PLANO

En el SISTEMA DIÉDRICO las figuras contenidas en los planos no se aprecian en VERDADERA MAGNITUD salvo en los casos de paralelismo con los planos de proyección.
Para determinar dicha magnitud podemos utilizar varios métodos. Uno de ellos es el ABATIMIENTO de los planos haciendolos coincidir con uno de los de proyección,(vertical u horizontal) utilizando para ello como eje de giro o CHARNELA una de las trazas del plano (la horizontal si abatimos sobre este plano y la vertical si el abatimiento se realiza sobre el Vertical de Proyección).
De esta manera la charnela coincidirá con ella misma tras el abatimiento (será una recta de puntos dobles).
El primero de los casos que vamos a ver es el del ABATIMIENTO DE UN PUNTO.
Aitoreche dispone de una serie de vídeos con muy buenas explicaciones sobre el tema.

El siguiente ejercicio que vamos a realizar será el ABATIMIENTO DE UNA RECTA.
Para ello nos serviremos de los puntos dobles de la CHARNELA.
El punto traza de la recta sobre la charnela será a su vez un punto de la recta abatida, con lo cual el ejercicio se reduce al caso anterior, pues dos puntos determinan una recta.
El siguiente ejercicio a realizar será el abatimiento de un plano, cuyo interés radica en el hecho de abatir aquellos elementos que contiene el plano (formas planas) de forma que podamos observarlos en VERDADERA MAGNITUD.

Una vez que hayas comprendido cómo deben realizarse los abatimientos, prueba a realizar esta sencilla lámina.
Aquí tienes los enlaces a las soluciones de los ejercicios. Procura recurrir a ellos para comprobar las tuyas:
1.- Abatimiento de un punto sobre el plano horizontal.
2.- Abatimiento de un punto sobre el plano vertical.
3.- Abatimiento de una recta oblicua.

SECCIONES

Dentro de las aplicaciones de la intersección de rectas y planos, tenemos las intersecciones de pirámides y prismas con planos, que generan un punto de intersección con aristas del poliedro. La unión de dichos puntos sería la sección generada por dicho plano sobre el cuerpo.
El plano que hemos utilizado en este caso es proyectante vertical y la sección que genera en la pirámide puede apreciarse en proyecciones, así como en Verdadera Magnitud. Imprime ésta lámina y realiza las intersecciones de la pirámide con el plano proyectante y del prisma con el plano oblicuo. Ten en cuenta que se trata en realidad de intersecciones entre rectas y planos.

 En este segundo caso las aristas del prisma son rectas perpendiculares al plano horizontal, por lo que para hallar su intersección con el plano oblicuo deberemos utilizar planos que conteniendo a dichas aristas sean paralelos al plano vertical, es decir planos frontales (por si no recuerdas como hacerlo aquí tienes el ejercicio resuelto con una recta de punta y un plano horizontal).
La intersección de un plano frontal con uno oblicuo es una frontal de plano, que, intersecará a las aristas del prisma en un punto.
( En este caso hemos trazado tan sólo las rectas y no los planos horizontales que pasan por la proyección horizontal de las aristas y que coincide con los vértices de las bases al estar todos sus puntos  confundidos en dicha proyección).

SECCIONES PLANAS Y HOMOLOGÍA  
Este ejercicio podríais resolverlo ya, realizando la intersección de un plano oblicuo con las aristas de la pirámide que son a su vez rectas oblicuas (utilizando para ello planos proyectantes).
Por si no recordáis como hacerlo aquí tenéis el método.

El próximo año utilizaréis un método que simplifica la resolución del ejercicio y que consiste en aprovechar la relación de homología que existe entre la base y la sección producida por el plano secante (es el que he usado en este caso).
 Comprobad que los lados de la base y de la sección convergen al prolongarlos, en puntos dobles situados sobre la traza horizontal del plano. Imprime ésta lámina y realiza las intersecciones de pirámide y prisma con sendos planos oblicuos.

Aquí tenéis un ejercicio similar resuelto con Mongge por el usuario Antonio.