MANDALAS (simetría radial)

EQUIVALENCIAS

Decimos que dos superficies planas son equivalentes cuando tienen distinta forma e igual área.
En el caso de la imagen podemos apreciar que los tres triángulos tienen la misma base y la misma altura.
Dado que el área de un triángulo equivale al producto de la base por la altura, podemos asegurar que en los tres casos la superficie es la misma.

Podemos obtener también un rectángulo equivalente a un triángulo.
Éste tendrá la misma base y la mitad de la altura del triángulo, ya que el área de ambos será              base x altura/2
Las figuras están coloreadas así para que podamos apreciar su equicomposición, es decir, las formas  de las que están compuestas ambas son las mismas.

Podemos con facilidad eliminar un lado de un polígono ya que los triángulos son equivalentes si manteniendo su base, su altura no se modifica.
De esta forma podemos eliminar uno o más lados de cualquier polígono, hasta convertirlo si así lo deseamos en un triángulo equivalente al polígono de partida.

CUADRADO EQUIVALENTE A UN RECTÁNGULO

Si queréis hallar el cuadrado equivalente a un rectángulo determinado debéis determinar previamente el segmento media proporcional de otros dos (los lados del cuadrado). Para ello deberemos utilizar el teorema del cateto o como en este caso el teorema de la altura. Aquí tenéis el ejercicio resuelto paso a paso con MONGGE.

CUADRADO EQUIVALENTE A UN CUADRILÁTERO

En cuanto al método para convertir un cuadrilátero cualquiera en un cuadrado equivalente, pasa por descomponer el cuadrilátero en dos triángulos de lado común (una de las diagonales del cuadrilátero). Y una vez hallado el rectángulo equivalente al cuadrilátero, estaremos en el caso anterior.

CUADRADO EQUIVALENTE A UN CÍRCULO
Para realizar este ejercicio debemos saber rectificar la semicircunferencia. De esta forma tendríamos el valor de πr.

Existen varios métodos para realizar la rectificación de una circunferencia. El método que os muestro aquí permite rectificar de una forma muy sencilla la semicircunferencia (ojo con esto, si quisiéramos hallar el valor de la rectificación de la circunferencia deberíamos multiplicar por dos el resultado). La rectificación de una semicircunferencia equivale a la suma de los lados del cuadrado y del triángulo inscritos en ella.

 

Para hacer los ejercicios en papel imprime esta lámina.

EJERCICIOS MÁS COMPLEJOS:

Aquí tenéis la solución a un ejercicio sobre equivalencias que salió en Selectividad en Murcia en el 2001. Se trata de un ejercicio algo más complejo que los que hemos hecho hasta ahora, pero probablemente tras ver el vídeo no os lo parecerá tanto.

Otro posible ejercicio es el que os propongo a continuación. Se trata de trazar el triángulo equilátero equivalente a un cuadrado determinado.
Y aquí os dejo otro ejercicio parecido que apareció en la PAU de Murcia en el 2003.

OPERACIONES CON SEGMENTOS

Con este applet vais a poder ver como multiplicar y dividir segmentos, así como hallar la tercera , la cuarta proporcional y también la media proporcional de dos segmentos (éste último concepto lo ampliaremos más adelante cuando veamos los teoremas de la altura y del cateto).

Os lo dejo enlazado, porque en esta ocasión es de un tamaño mucho mayor. Tan solo  tenéis que hacer clic sobre la imagen para acceder a la construcción.
Imprime la lámina que vamos a realizar.
-Producto de segmentos
-División de segmentos
-Tercera proporcional:
Es la igualdad de dos razones (fracciones) en las que conocidos dos elementos, uno de los cuales se repite (en dichas fracciones sus extremos o sus medios se repiten). 
En la fracción"x" es la tercera proporcional entre a y b (a/b y b/x serían fracciones equivalentes)

- Cuarta proporcional:

Es la igualdad de dos razones (fracciones), en la que son conocidos tres de sus elementos y desconocido el cuarto. La forma típica de una cuarta proporcional es a/b = c/x, donde a, b y c, son los tres segmentos conocidos, y x la incógnita.

Si conocemos los lados de un rectángulo y necesitamos trazar otro semejante conocido uno de sus lados, podría determinar el valor del restante mediante este sistema.

Si a=4 cm y b=2 cm, y conocemos el lado mayor de un segundo rectángulo semejante , c=6 cm, podríamos determinar gráficamente el valor de su otro lado (x=3)

ABATIMIENTO DE UNA FIGURA PLANA (II)

Aquí tenéis un ejercicio muy similar a éste. En este caso la figura plana es un pentágono regular. Por si no recordáis como se hace el pentágono inscrito en una circunferencia aquí lo tenéis.
Intenta realizar en papel estos dos ejercicios, así como esta otra lámina
Debajo tenéis los ejercicios 17.1, 17.2 y 18.3 resueltos.