PROPORCIONALIDAD: TEOREMAS DE LA ALTURA Y EL CATETO

-Apuntes
Es importante que sepáis hallar el segmento media proporcional de otros dos, sobre todo de cara al tema de equivalencias entre figuras planas (por ejemplo, para determinar el lado de un cuadrado equivalente a un rectángulo de lados conocidos).
La media proporcional de dos segmentos, es igual a la raíz cuadrada del producto de dichos segmentos. Se da cuando en una proporción, que denominamos continua, los medios o los extremos se repiten (x/a=b/x, o a/x=x/b por ejemplo).
Gracias a este concepto, podéis determinar también gráficamente la raíz cuadrada de un segmento (utilizando para ello además del segmento del que queremos hallar la raíz cuadrada el segmento unidad).
Los TEOREMAS DE LA ALTURA Y DEL CATETO se pueden demostrar atendiendo a la condición de semejanza entre triángulos. En estos dos casos partimos de un triángulo rectángulo.

Aquí tenéis la demostración del TEOREMA DE LA ALTURA.



Para aquellos a los que les cueste ver la semejanza entre los triángulos he preparado este vídeo.

En lo que respecta al TEOREMA DEL CATETO, podemos enunciar que:
En todo triángulo rectángulo cada uno de los catetos es media proporcional entre la Hipotenusa del triángulo y su proyección sobre ella.
En este caso es aún más sencillo demostrar la semejanza entre triángulos, ya que ABC y ADC, comparten un lado y un ángulo, y son además rectángulos (es decir, otro de sus ángulos es de 90º) con lo que el tercer ángulo tendrá el mismo valor. Ambos triángulos tienen pues los lados proporcionales, es decir: AB/AC=AC/AD, es decir, AC equivale a la raíz cuadrada del producto AD y AB.
Os dejo un nuevo applet interactivo de GeoGebra de forma que podáis modificar los datos y ver como los cambios afectan al resultado, así como comprobar la semejanza de ambos triángulos.
Si quereis acceder a la lámina sobre proporcionalidad haced clic aquí.
Y aquí teneis cuatro ejercicios de aplicación de los Teoremas del cateto y de la altura

Os dejo resuelto paso a paso el ejercicio tercero, en el que se os pide hallar gráficamente la raíz cuadrada de un segmento (tan sólo he cambiado la medida del segmento). 
Enlace al vídeo

NÚMERO DE ORO

-Apuntes La proporción áurea es el nombre que se dio en el siglo XIX a una relación de proporcionalidad entre las dos partes de un segmento de forma que una de ellas, la áurea es media proporcional de las otras dos.

 La división entre la totalidad del segmento (a+b) y el segmento mayor (segmento áureo=a), es igual a la división entre el segmento áureo y la división menor (b) e igual al número "Phi", dicho número equivale a 1,618.

Os recomiendo que veáis estos vídeos, en los que se os explica tanto el concepto, como su importancia (esta proporción está presente en la naturaleza en numerosas formas, y se dice de ella que es la proporción de la belleza).

Dicho número ha intrigado por igual a matemáticos, filósofos y artistas y guarda relación con la famosa Sucesión de Fibonacci.

Esta proporción se halla presente en el pentágono regular (de hecho su lado es el segmento áureo de su diagonal) .
En este applet podéis apreciar las relaciones áureas que se establecen entre por ejemplo el lado y la diagonal del pentágono regular, así como entre otra serie de sus elementos. La magnitud del lado se puede modificar, pero veréis que la proporción se mantiene.

Esta proporción se halla presente en la naturaleza, para bien y para mal, como podéis apreciar en esta fotografía del huracán Sandy que encontré en un interesantísimo blog de matemáticas que os enlazo aquí. El autor del blog ha llamado al fenómeno FIBOSANDY.

Leonardo da Vinci utiliza también la Divina Proporción en su Hombre de Vitrubio.

Proporción aurea

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Después de estudiar la CONSTRUCCIÓN DEL PENTÁGONO y la SECCIÓN ÁUREA realiza ésta lámina
EJERCICIOS RESUELTOS:
- Ejercicios 1 y 2 Enlace al vídeo
- Ejercicio 3 Enlace al vídeo
- Ejercicio 4    Vídeo
- Ejercicio 5 Enlace al vídeo
Para realizar el ejercicio 6  (vídeo) necesitáis trazar un rectángulo áureo. En este caso el trazado está hecho partiendo del lado menor.
El rectángulo áureo puede subdividirse en nuevos rectángulos que, aún siendo de menor tamaño conservan la proporción áurea en la relación entre sus lados. Dentro de él se puede dibujar además la espiral logarítmica que se halla presente repetidas veces en la naturaleza.

POLÍGONOS REGULARES

En este applet, podéis ver como obtener polígonos regulares (equiláteros y equiángulos), dividiendo de forma igualmente regular la circunferencia.
Estos polígonos se obtienen de forma inmediata al dividir la circunferencia en tres, seis y doce partes en los casos del triángulo, del hexágono y del dodecágono.
En el caso del cuadrado y del octógono deberemos dividir la circunferencia en cuatro y ocho partes respectivamente.

Aquí tenéis los enlaces para acceder a las construcciones de los polígonos inscritos mediante animaciones con Mongge. Y aquí tenéis el Método general para trazar polígonos de 6 a 12 lados conocido su lado.

Para el estudio de los trazados y propiedades de los polígonos regulares os remito a la página de Luis Pérez Vega: uno618, en la los tenéis recogidos mediante estupendos applets interactivos de GeoGebra:

-Propiedades y trazados generales (dado el lado y dado el radio de la circunferencia circunscrita).
-Trazados particulares

Especialmente bonitos son los múltiples trazados que tiene sobre el pentágono regular (no es necesario que sepáis trazarlos, pero sí es interesante que comprobéis que en numerosas ocasiones hay más de un camino correcto para resolver un problema geométrico).
Si os fijáis en la fotografía que aparece en dicha página, veréis como hacer un pentágono regular partiendo de una simple tira de papel.
En éste vídeo podéis ver cómo.

El caso del pentágono  es un tanto especial, (de hecho su estrellado era el símbolo de los Pitagóricos) por su relación con el número de oro, y por eso lo veremos con más detalle más adelante.

Si unimos cada uno de los vértices de un polígono con todos los demás obtendremos una figura conocida como hilorama,
El hilorama es una técnica que se caracteriza por la utilización de hilos de colores, cuerdas o alambres tensados que se enrollan alrededor de un conjunto de clavos para formar figuras geométricas, abstractas u otros tipos de representaciones y que normalmente se realiza sobre una base de madera.
Aquí tenéis una muestra realizada con GeoGebra.

CUADRILÁTEROS

El CUADRILÁTERO es el polígono de cuatro lados.
Podemos clasificarlos en base a sus ángulos en convexos y cóncavos.


CONVEXO: Cuando el polígono está situado en uno de los semiplanos determinados por cualquieran de sus lados (es decir, si prolongamos cualquiera de sus lados, TODO el polígono queda a un lado o al otro de esa línea). Si el polígono es convexo sus ángulos interiores son siempre menores que 180º.








CÓNCAVO: Cuando considerando todas y cada una de las rectas que componen sus lados, el polígono se encuentra en ambos semiplanos. En este caso existe siempre un ángulo mayor de 180º.




PROPIEDADES FUNDAMENTALES:
La suma de los cuatro ángulos interiores de un cuadrilátero es igual a 360º, esto es a la suma de los ángulos de los dos triángulos en los que se descompone.


 




Todo cuadrilátero convexo que tenga dos ángulos opuestos suplementarios (que sumen 180º) es inscriptible en una circunferencia.

En todo cuadrilátero circunscriptible las sumas de los lados opuestos son iguales.

AB+CD=BC+AD

 

CLASIFICACIÓN Y CARACTERÍSTICAS:

TRAPEZOIDE: Cuadriláteros sin lados paralelos.
TRAPECIOS: Cuadriláteros con dos lados (bases) paralelos (su altura sería la distancia entre las bases). 
Pueden clasificarse en : Rectángulo, isósceles y escaleno.



PARALELOGRAMOS:
Tienen los lados opuestos iguales y paralelos dos a dos.
ROMBOIDE: Lados y ángulos opuestos iguales entre sí.
RECTÁNGULO: Lados opuestos iguales, ángulos rectos y diagonales iguales (se bisecan).
ROMBO: Lados iguales y ángulos opuestos iguales dos a dos. Diagonales distintas pero se cortan formando un ángulo recto.
CUADRADO: Lados y ángulos iguales (rectos).

Si quieres repasar de una forma divertida, entra AQUÍ.

En ésta página del IES Las Salinas tenéis resueltos y explicados gran parte de los ejercicios de cuadriláteros. Algunos están realizados por otro método distinto pero igualmente válido. Os recomiendo que los fotocopiéis.


Aquí tenéis resueltos los ejercicios 11, 12 y el ejercicio 13 de cuadriláteros. Se trata de un problema muy similar a otros que hemos resuelto ya en el caso de los triángulos.
-Ejercicio 14
-Ejercicio 15
-Ejercicio 16
-Ejercicio 17
-Ejercicio 18

Ejercicio de examen. Rombo conocidos su lado y la suma de sus diagonales. Enlace al vídeo.