EQUIVALENCIAS

Decimos que dos superficies planas son equivalentes cuando tienen distinta forma e igual área.
En el caso de la imagen podemos apreciar que los tres triángulos tienen la misma base y la misma altura.
Dado que el área de un triángulo equivale al producto de la base por la altura, podemos asegurar que en los tres casos la superficie es la misma.

Podemos obtener también un rectángulo equivalente a un triángulo.
Éste tendrá la misma base y la mitad de la altura del triángulo, ya que el área de ambos será              base x altura/2
Las figuras están coloreadas así para que podamos apreciar su equicomposición, es decir, las formas  de las que están compuestas ambas son las mismas.

Podemos con facilidad eliminar un lado de un polígono ya que los triángulos son equivalentes si manteniendo su base, su altura no se modifica.
De esta forma podemos eliminar uno o más lados de cualquier polígono, hasta convertirlo si así lo deseamos en un triángulo equivalente al polígono de partida.

CUADRADO EQUIVALENTE A UN RECTÁNGULO

Si queréis hallar el cuadrado equivalente a un rectángulo determinado debéis determinar previamente el segmento media proporcional de otros dos (los lados del cuadrado). Para ello deberemos utilizar el teorema del cateto o como en este caso el teorema de la altura. Aquí tenéis el ejercicio resuelto paso a paso con MONGGE. (Enlace al ejercicio resuelto en vídeo)

CUADRADO EQUIVALENTE A UN CUADRILÁTERO

En cuanto al método para convertir un cuadrilátero cualquiera en un cuadrado equivalente, pasa por descomponer el cuadrilátero en dos triángulos de lado común (una de las diagonales del cuadrilátero). Y una vez hallado el rectángulo equivalente al cuadrilátero, estaremos en el caso anterior. 

Enlace al ejercicio resuelto en vídeo con Mongge

CUADRADO EQUIVALENTE A UN CÍRCULO
Para realizar este ejercicio debemos saber rectificar la semicircunferencia. De esta forma tendríamos el valor de πr.

Existen varios métodos para realizar la rectificación de una circunferencia. El método que os muestro aquí permite rectificar de una forma muy sencilla la semicircunferencia (ojo con esto, si quisiéramos hallar el valor de la rectificación de la circunferencia deberíamos multiplicar por dos el resultado). La rectificación de una semicircunferencia equivale a la suma de los lados del cuadrado y del triángulo inscritos en ella. Enlace al vídeo con la construcción.

Construcción en vídeo

Para hacer los ejercicios en papel imprime esta lámina.

EJERCICIOS MÁS COMPLEJOS:

Otro posible ejercicio es el que os propongo a continuación. Se trata de trazar el triángulo equilátero equivalente a un cuadrado determinado. Enlace a la construcción en vídeo.
Y aquí os dejo otro ejercicio parecido que apareció en la PAU de Murcia en el 2003 (enlace al vídeo de la construcción)
Ejercicios equivalencias PAU/EvAu

-Soluciones en esta entrada del blog de 2º de bachillerato.

Ejercicios con soluciones para imprimir

PROPORCIONALIDAD: TEOREMAS DE LA ALTURA Y EL CATETO

-Apuntes
Es importante que sepáis hallar el segmento media proporcional de otros dos, sobre todo de cara al tema de equivalencias entre figuras planas (por ejemplo, para determinar el lado de un cuadrado equivalente a un rectángulo de lados conocidos).
La media proporcional de dos segmentos, es igual a la raíz cuadrada del producto de dichos segmentos. Se da cuando en una proporción, que denominamos continua, los medios o los extremos se repiten (x/a=b/x, o a/x=x/b por ejemplo).
Gracias a este concepto, podéis determinar también gráficamente la raíz cuadrada de un segmento (utilizando para ello además del segmento del que queremos hallar la raíz cuadrada el segmento unidad).
Los TEOREMAS DE LA ALTURA Y DEL CATETO se pueden demostrar atendiendo a la condición de semejanza entre triángulos. En estos dos casos partimos de un triángulo rectángulo.

Aquí tenéis la demostración del TEOREMA DE LA ALTURA.



Para aquellos a los que les cueste ver la semejanza entre los triángulos he preparado este vídeo.

En lo que respecta al TEOREMA DEL CATETO, podemos enunciar que:
En todo triángulo rectángulo cada uno de los catetos es media proporcional entre la Hipotenusa del triángulo y su proyección sobre ella.
En este caso es aún más sencillo demostrar la semejanza entre triángulos, ya que ABC y ADC, comparten un lado y un ángulo, y son además rectángulos (es decir, otro de sus ángulos es de 90º) con lo que el tercer ángulo tendrá el mismo valor. Ambos triángulos tienen pues los lados proporcionales, es decir: AB/AC=AC/AD, es decir, AC equivale a la raíz cuadrada del producto AD y AB.
Os dejo un nuevo applet interactivo de GeoGebra de forma que podáis modificar los datos y ver como los cambios afectan al resultado, así como comprobar la semejanza de ambos triángulos.
Si quereis acceder a la lámina sobre proporcionalidad haced clic aquí.
Y aquí teneis cuatro ejercicios de aplicación de los Teoremas del cateto y de la altura

Os dejo resuelto paso a paso el ejercicio tercero, en el que se os pide hallar gráficamente la raíz cuadrada de un segmento (tan sólo he cambiado la medida del segmento). 
Enlace al vídeo