CURVAS CÓNICAS: HIPÉRBOLA

La HIPÉRBOLA es una curva plana, abierta (lo que la diferencia de la ELIPSE), con dos ramas.
Dispone de dos ejes: 
El EJE REAL que contiene los focos: F1F2=2c y los vértices de la curva que podemos denominar AB, AA´,VV¨, etc. En todos estos casos y aunque haya diferencias de nomenclatura, esa distancia se denomina  2a. 
Al EJE VIRTUAL, perpendicular al eje real podemos denominarlo CD, BB¨, etc, pero en todos los casos será igual a 2b.

DEFINICIÓN

Puede definirse como el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a otros dos fijos llamados focos es constante e igual a la magnitud del eje real AB=2a

Si quieres saber como construir la Hipérbola por puntos, haz clic aquí

CIRCUNFERENCIA FOCAL Y CIRCUNFERENCIA PRINCIPAL
En lo que respecta a estos dos conceptos, las definiciones que nos servían para la ELIPSE sirven igualmente para la HIPÉRBOLA.
Existen DOS CIRCUNFERENCIAS FOCALES (igual que en la elipse), cada una de ellas con centro en uno de los focos. Se podría definir la CIRCUNFERENCIA FOCAL, como el lugar geométrico de los puntos simétricos del otro foco respecto de las tangentes trazadas a la curva. El radio de dichas circunferencias es 2a=AB, es decir la magnitud del eje real.

La CIRCUNFERENCIA PRINCIPAL tiene como centro O (punto de corte de los ejes real y virtual) y RADIO a (semieje real). Se define como el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas a las tangentes a la curva.

TANGENTES A UNA HIPÉRBOLA DESDE UN PUNTO EXTERIOR

En este vídeo se os explica como trazar las tangentes a la HIPÉRBOLA desde un punto exterior utilizando para ello la circunferencia focal:

Este ejercicio puede resolverse también utilizando para ello las propiedades de la circunferencia principal.

Os dejo en formato Mongge varios de los ejercicios que vamos a realizar en clase:
1.- Construcción de la HIPÉRBOLA por puntos.
2.- Construir una HIPÉRBOLA de la que conocemos sus asíntotas y el valor del eje real AB.
3.- Construir una HIPÉRBOLA conociendo los FOCOS y un punto P.
4.- Construir una HIPÉRBOLA conocidos los FOCOS y una TANGENTE t.
5.- HIPÉRBOLA conociendo el eje real y la tangente t1.
6.- HIPÉRBOLA conociendo un FOCO y tres tangentes.

Además de los ejercicios que vamos a realizar en clase sería conveniente que intentarais resolver éste. Se trata de un ejercicio de Selectividad del año 2009 que podríais resolver ya.


ENUNCIADO:
Trazar las tangentes desde un punto P a la hipérbola de focos F y F' que pasa por un punto Q. Obtener gráficamente los puntos de tangencia, sin dibujar la curva.

Os dejo la solución explicada en el vídeo y por si queréis verla a vuestro ritmo os dejo el enlace al ejercicio en formato Mongge.

Una vez que hayáis visto el vídeo es interesante que manipuléis la construcción de GeoGebra que os dejo debajo.



Otro ejercicio que podéis intentar resolver es éste:
Dibujar la hipérbola conocidos un foco F, dos tangentes t1 y t2 y la magnitud del semieje mayor o real a.
También aquí tenéis la solución en formato Mongge y en vídeo. 

Como en el caso del anterior ejercicio os dejo una construcción interactiva de GeoGebra.

CURVAS CÓNICAS: ELIPSE

ELIPSE


Aquí tenéis los enlaces a unos estupendos VÍDEOS (realizados por Aitor Echevarría) con los CONCEPTOS más importantes sobre esta CURVA CÓNICA:
-ELIPSE: Definición, elementos y propiedades más importantes.
-RECTAS TANGENTES A UNA ELIPSE desde un punto exterior P (ejercicio 9).
-TANGENTES A LA ELIPSE PARALELAS a una DIRECCIÓN dada (ejercicio 10).
En este caso el ejercicio está resuelto utilizando la circunferencia focal. Os dejo en formato mongge otra forma de solucionarlo utilizando para ello la circunferencia principal.

Aquí tenéis también en formato Mongge la construcción de la ELIPSE dados los ejes AB y CD

 Os dejo también un applet interactivo de GeoGebra para intentar aclararos sus elementos y propiedades.

ELIPSE: EJERCICIOS

Os dejo en formato Mongge el ejercicio del trazado de rectas paralelas a una dirección dada tangentes a una elipse definida por sus focos y conocida la magnitud 2a (ej 3.1)

Otros ejercicios que podéis realizar son los siguientes:

-Dados los ejes mayor y menor de una elipse dibújala por afinidad (ejercicio 1).

- Determinar los ejes de la elipse a partir de los dos focos y uno de sus puntos P (ejercicio 2).
 - Dado un punto P de la elipse, una tangente t y el eje menor CD, dibujar el punto de tangencia de la elipse con T (ejercicio 3).
-Tangente a una elipse por un punto P (ejercicio 4).
- El ejercicio 5 lo tenéis en vídeo debajo (resuelto a través de la circunferencia focal)
-Ejes de una elipse dados un foco, una tangente y las magnitudes 2a y 2c. (ejercicio 6)
-Obtener los ejes de la elipse conociendo un foco, dos tangentes y el punto de tangencia de una de ellas (ejercicio 7).
Os dejo el ejercicio explicado también en formato vídeo.


-Rectas tangentes a una elipse definida por sus focos,  paralelas a una dirección dada. Se nos da la magnitud del eje mayor. (ejercicio 3.1)
-Rectas tangentes a una ELIPSE desde un punto exterior P (ejercicio 3.2. El ejercicio 9 es una variante del mismo).

-Hallar los parámetros de una elipse conocidos sus focos y una tangente t (ejercicio 3.3. Lo tenéis también en vídeo).



Aquí os dejo las soluciones  de los ejercicios 3.3 y 3.4 de ELIPSE en formato vídeo.
Es importante que tengáis claros los conceptos de CIRCUNFERENCIA FOCAL, así como el de CIRCUNFERENCIA PRINCIPAL. 
Procurad no memorizar nunca los ejercicios, ya que si lo hacéis así, no podréis resolver problemas similares en los que se modifican tan sólo las posiciones de los datos, y sobre todo y lo que es peor, olvidaréis rápidamente lo "aprendido" . En  cualquier materia es importante que la estudiéis después de comprenderla. En el caso del DIBUJO TÉCNICO es imprescindible hacerlo así.

En este segundo caso, que puede solucionarse de otra forma  (utilizando la circunferencia focal), os pido que lo hagáis utilizando la CIRCUNFERENCIA PRINCIPAL (lugar geométrico de los pies de las perpendiculares a las tangentes a la curva trazadas desde los focos).

CURVAS CÓNICAS (Introducción)

Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas intersección entre un cono y un plano; siempre que dicho plano no pase por el vértice.

Se clasifican en tres tipos: ELIPSE, PARÁBOLA e HIPÉRBOLA.

Para ayudaros a comprender los conceptos relacionados con las CURVAS CÓNICAS: DEFINICIÓN, PARÁMETROS Y PROPIEDADES tenéis esta potentísima herramienta interactiva diseñada  por Jose Antonio CUADRADO.


Son estupendos también los applets interactivos de Luis Pérez sobre curvas cónicas. Además podréis encontrar en su página innumerables problemas resueltos por pasos.

Si os interesa conocer los USOS DE LAS CURVAS CÓNICAS EN LA VIDA REAL no dejéis de ver este capítulo de "MÁS POR MENOS"

Con este applet de GeoGebra comprenderéis mejor conceptos como el de los focos de una cónica, así como el de sus directrices.
Puedes desplazar el plano que genera la cónica, moviendo los puntos A y B, y modificar la posición del punto P, para comprobar que se mantiene constante la excentricidad de cada sección cónica.

CURVAS CÍCLICAS

Las curvas cíclicas o de rodadura representan la trayectoria de un punto de una circunferencia (llamada RULETA), que rueda sin resbalar, sobre una recta u otra circunferencia (BASE O DIRECTRIZ).
Suelen utilizarse en mecánica (engranajes) y poseen interesantes propiedades que os gustará conocer (al menos eso creo).


Aquí tenéis una estupenda presentación en la que podéis ver las características de cada una de dichas curvas, así como su construcción.

Curvas_técnicas_Definiciones_trazado

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CICLOIDE
Es una curva plana, lugar geométrico de las distintas posiciones de un punto móvil contenido en una circunferencia.
La CICLOIDE puede ser normal si el punto que se desplaza es uno de los de la circunferencia, acortada si es un punto interior y alargada si es exterior.
Trazaremos la recta base o directriz tangente a la circunferencia ruleta o generatiz.
Ese punto de tangencia determina la posición inicial del punto móvil.
La directriz debe tener la medida de la rectificación de la circunferencia.
Por si no recordáis como hacerlo os dejo dos enlaces a dos vídeos:


-Método de Arquímedes.
-Rectificación de la semicircunferencia. (No olvidéis multiplicar la medida resultante por dos).


Debemos dividir después la circunferencia  y el segmento en el mismo número de partes iguales. (Es importante saber que  el número de partes va a determinar la precisión con la que tracemos la curva).
Ocho partes puede ser un número adecuado. En el caso de la circunferencia realizaría la construcción para inscribir en ella un octógono cuyos vértices determinarían las distintas posiciones del punto en su desplazamiento, es decir al rodar.
Aquí tenéis la construcción en formato MONGGE.


La CICLOIDE tiene una serie de propiedades realmente curiosas:
Es BRAQUISTÓCRONA y TAUTÓCRONA...¿? 
Si queréis saber lo que significa esto, no dejéis de ver este sorprendente vídeo.

Accede a la página del profesor de matemáticas autor de este vídeo para saber más sobre la CICLOIDE.

 Si quieres practicar enlazada a la imagen tienes una estupenda herramienta de EDUCACIÓNPLASTICA.NET que te ayudará a comprender mejor el trazado de esta curiosa curva cíclica.
Puedes igualmente trazar sus versiones acortada y alargada.


Luis Pérez en su web uno.618, tiene una construcciones interactivas realmente interesantes realizadas con GeoGebra.
En este enlace tenéis las de la cicloide, pero podéis acceder desde ahí a las demás curvas.


EPICICLOIDE
Curva plana (abierta o cerrada), generada por un punto interior, exterior o perteneciente a una circunferencia denominada ruleta, que rueda exteriormente y sin deslizamiento sobre otra circunferencia de tamaño variable llamada directriz. Lógicamente ambas circunferencias pueden tener diferentes relaciones entre sus radio, y en función de ésto la curva que obtendremos tendrá una forma u otra.
Para calcular la longitud del arco que recorrerá la circunferencia ruleta sobre la directriz tras una vuelta completa de la primera, existe una fórmula, que relaciona los radios de ambas: a=360º r/r´. Siendo a el ángulo central de la circunferencia directriz que determina el arco de circunferencia recorrido por la ruleta tras una vuelta.
Así, si r´=2r , el valor del ángulo central recorrido por la ruleta será de 180º. 

Pulsa sobre la imagen para acceder sobre la construcción paso a paso de la Epicicloide.

En la imagen tenéis el enlace a la aplicación de educacionplastica.net con la que podréis trazar epicicloides con distintos valores radiales, para comprobar que la curva resultante varía de forma.
Si la circunferencia DIRECTRIZ tiene el mismo tamaño que la RULETA , obtenemos una curva que denominamos CARDIODE (su forma es similar a un corazón). Si la DIRECTRIZ  mide el doble que la RULETA , la figura que obtenemos se llama NEFROIDE (se parece a un riñón).


HIPOCICLOIDE
En esta curva ruleta y directriz son, como en la EPICICLOIDE dos circunferencias. La diferencia entre ambas radica en que en éste caso la ruleta rueda dentro de circunferencia directriz.


Dependiendo de la relación entre los RADIOS de ambas, obtenemos algunas CICLOIDES SINGULARES como puede ser el caso de la HIPOCICLOIDE RECTILÍNEA (transformación del movimiento circular en rectilíneo como ocurre en el caso de la biela-manivela)
Imagen: Wikipedia (sitúate sobre ella para ver la animación)

Aquí tenéis el enlace al ejercicio en formato MONGGE



Prueba a cambiar el radio de la circunferencia ruleta y comprueba lo que ocurre. Haz clic aquí


EVOLVENTE DE LA CIRCUNFERENCIA
 Es la curva que genera un punto fijo de una recta tangente a una circunferencia que se desplaza alrededor de ella sin resbalar.

Os dejo enlazada la lámina que vamos a realizar, por si queréis repetirla.