TRIÁNGULOS (EJERCICIOS)

Algunos de los ejercicios que vamos a hacer en clase son muy sencillos y sabréis probablemente realizarlos sin ayuda. Otros, son un poco más complicados y os vendrá bien poder verlos de nuevo.
EJERCICIOS RESUELTOS:
- Problema 1.1
- Problema 1.2 (con variantes)
- Problema 1.3
-Aquí tenéis resuelto el problema 1.4 en formato MONGGE. (el de la imagen)
Se nos da el valor de dos de los lados, así como la altura de uno de ellos.
- Ejercicio 1.5 
- Ejercicio 1.6
- Ejercicio 1.7 

Ejercicio 1.8 (clic sobre la imagen)

Aquí tenéis una variante del ejercicio 1.9, en el que se nos pide la construcción de un triángulo en el que se nos dan dos medianas y el valor de uno de los lados.
Debéis recordar que la MEDIANA une el punto medio de cada lado con el vértice opuesto, y que el BARICENTRO (punto de corte de las tres medianas de un triángulo), está situado a 2/3 del valor de la mediana respecto del vértice opuesto, mientras que la distancia al lado es de 1/3 de su valor.

El ejercicio 1.10 lo podéis ver con una construcción de GeoGebra. Se trata de una animación, pero sigue siendo interactiva. (clic sobre la imagen)

Existe otra forma de resolver este ejercicio. Para ello es necesario saber que el romboide es un paralelogramo cuyas diagonales se bisecan (ojo, no disecan), es decir, se cortan en su punto medio. (clic sobre la imagen)

- Os enlazo aquí el ejercicio 1.11 (Mongge), con pequeñas modificaciones de datos, así como el ejercicio 1.12 con pequeñas variantes.
El ejercicio 1.13 se resuelve por semejanza.
El ejercicio 1.14 es un poco más complicado. Debéis tener además en cuenta que puede resolverse de dos formas (ambas correctas).            (clic sobre la imagen)

El ejercicio 1.15 se resuelve por semejanza entre triángulos.
Dos triángulos son semejantes si tienen ángulos iguales y lados proporcionales.

TRIÁNGULOS Y ARCO CAPAZ

Es muy típico el ejercicio de triángulos en el que se nos da el valor del ángulo del vértice opuesto a uno de los lados, o bien, podemos deducir del enunciado uno de los valores angulares de forma que necesitemos aplicar el concepto de ARCO CAPAZ.

El segundo de los PROBLEMAS DE TRIÁNGULOS que os facilité es un buen ejemplo.
Haciendo clic sobre la imagen podréis al documento en formato Mongge. 
 Si os fijáis este ejercicio es prácticamente idéntico al 1.14, con la única salvedad del valor del ángulo en el vértice A.

Y aquí tenéis también el ejercicio 3 de triángulos.

Este otro ejercicio salió en la PAU (Selectividad) del año 2003. Es bastante sencillo y podríais resolverlo ya. (clic sobre la imagen)

Por si queréis realizar algunos ejercicios más. Os dejo ésta otra lámina.

Las soluciones están aquí: Ejercicio 1, ejercicio 2, ejercicio 3 y ejercicio 4.

POLÍGONOS: TRIÁNGULOS (Propiedades y Puntos notables)

Aquí están los apuntes sobre el tema.

Los triángulos son figuras planas formadas por tres puntos no alineados y por tres segmentos que los unen dos a dos (los tres puntos son los vértices y los tres segmentos son los lados).
Los vértices se designan con letras mayúsculas (generalmente las primeras del abecedario) y los lados opuestos a los ángulos con las mismas letras minúsculas.

PROPIEDADES DE LOS TRIÁNGULOS

-La suma de los ángulos interiores de un triángulo tiene un valor de 180º

-Cada lado de un triángulo debe ser menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.

-A mayor lado se opone mayor ángulo.

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Las rectas y puntos notables de un triángulo son:

.-Las mediatrices, que se cortan en un punto llamado circuncentro ,centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.

-Las medianas, que se cortan en el baricentro, G, centro de gravedad del triángulo.

-Las bisectrices, que se cortan en el incentro, centro de la circunferencia inscrita del triángulo.

-Las alturas, que se cortan en el ortocentro.

CIRCUNCENTRO

Si quieres ver cómo se construye paso a paso haz clic en la imagen.

El CIRCUNCENTRO es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidista de los tres vértices de un triángulo. Debido a esta condición es, a su vez el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo (de ahí su nombre).

Para construirlo deberemos hallar el punto de corte de las mediatrices del triángulo.

En los dibujos podéis observar que el circuncentro puede quedar dentro del triángulo, sobre la hipotenusa o fuera del triángulo, dependiendo de si se trata respectivamente de un triángulo acutángulo, rectángulo u obtusángulo.

BARICENTRO

El BARICENTRO es el punto de corte de las medianas de un triángulo.

La mediana une el punto medio de cada lado con el vértice opuesto.


 Dichas medianas se van a cortar siempre en un punto interior del triángulo.

El BARICENTRO tiene una propiedad física interesante: es el centro de gravedad 

del triángulo.

En las medianas de cualquier triángulo el BARICENTRO está situado a 2/3  del vértice opuesto y, en consecuencia a 1/3 del punto medio del lado correspondiente.

Ocurre también que si unimos los puntos medios de los lados obtenemos un triángulo semejante al original (es decir con valores angulares iguales y lados proporcionales), en el que los lados son paralelos a los del triángulo original y la mitad de su magnitud.

Si quieres saber cómo se construye paso a paso haz clic aquí.

INCENTRO

El punto de corte de las BISECTRICES de los ángulos interiores de un triángulo recibe el nombre de INCENTRO. Dicho punto estaría situado pues, por definición a la misma distancia de los lados del triángulo, es decir sería el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.
Para saber cómo construirlo paso a paso haz clic aquí.

Si trazáramos las BISECTRICES de los ángulos exteriores del triángulo hallaríamos en su punto de corte los EXINCENTROS.
Puedes modificar la posición de los puntos A,B y C.

ORTOCENTRO

El punto de corte de las alturas de un triángulo es el ORTOCENTRO (H). 
Se denomina altura  a cada una de las distancias perpendiculares de cada vértice al lado opuesto. Se designan por h y el subíndice correspondiente a su vértice.
Para ver su construcción haz clic en la imagen.

Si el triángulo es acutángulo el ORTOCENTRO quedará en su interior, si es rectángulo se encontrará en el vértice del ángulo recto, y si fuera obtusángulo el ORTOCENTRO sería exterior al triángulo. 

En este applet tienes tanto los puntos como las rectas notables de un triángulo cuyas dimensiones puedes modificar.
Tienes más información sobre la circunferencia de Feuerbach en ésta página.

Comprueba también activando simultáneamente las casillas del circuncentro(mediatrices) y del incentro (bisectrices) que ambas rectas convergen en puntos de la circunferencia circunscrita. 

Aquí tenéis en formato Mongge el trazado de la Circunferencia de Feuerbach.

Existen una serie de triángulos asociados al principal que podéis apreciar en este applet interactivo de GeoGebra.

Si quieres saber más puedes acceder a la siguiente página de WIKILLERATO.
También es muy completo el TEMA DE EDITEX sobre POLÍGONOS, por si quisieras ampliar información.


Para descargar los ejercicios básicos sobre rectas y puntos notables pincha aquí.
Para acceder a la ficha con los problemas que vamos a realizar sobre triángulos y cuadriláteros pincha aquí.

LA CIRCUNFERENCIA

LA CIRCUFERENCIA (y el punto medio de las cuerdas como lugar geométrico).

 PROPIEDADES:
-Por tres puntos no alineados pasa una circunferencia. Si realizamos la mediatriz de dos de las cuerdas que definen esos tres puntos obtendremos el centro de la circunferencia.

-En una misma circuferencia todas las cuerdas del mismo tamaño abarcan arcos iguales.
(prueba a activar la animación en la construcción para comprobar que existe otro lugar geométrico que determinan los puntos medios de las cuerdas de un mismo tamaño dentro de una circunferencia).
-La mediatriz de una cuerda divide a esta y a su arco en dos partes iguales y pasa siempre por el centro de la circunferencia, determinando un diámetro (que es la cuerda mayor de la circunferencia).

Es importante también que veamos los ángulos en la circunferencia con mayor profundidad.
Aquí tenéis un applet de GeoGebra, con el que podéis comprobar la relación que existe entre el ángulo central e inscrito.
El valor del ángulo central es siempre doble que el del inscrito que abarca la misma cuerda.

Colocando los lados de ambos de forma que coincidan con el diámetro de la circunferencia se hace más sencillo demostrar que el valor del ángulo central es del doble que el del inscrito.
El ángulo en BOC es igual a 180º - 2 beta , dado que BOC es un triángulo isósceles, con dos lados iguales que son los radios de la circunferencia y con dos ángulos iguales por tanto.
La suma de los ángulos de un triángulo equivale a 180º.
El ángulo BOC es también igual a 180º -alfa, dado que son ángulos adyacentes (consecutivos y que suman 180º). De donde alfa= 2 beta 
 Los ángulos pueden ser además de inscritos, semiinscritos y centrales, interiores y exteriores a la circunferencia. El ángulo semiinscrito tiene como el inscrito la mitad del valor que el ángulo central que abarca su cuerda inscrita.Si desplazas el vértice hasta el interior de la circunferencia podrás comprobar que el ángulo se convierte en interior y que su valor equivale a la semisuma de los ángulos centrales que abarcan sus lados.
En el caso de que el ángulo sera exterior su valor sería el de su semidiferencia.

TRAZADOS FUNDAMENTALES II (GeoGebra)

Aquí os dejo en PDF la lámina con los enunciados y los datos, así como un código QR que os lleva a la construcción de GeoGebra.
 
Aunque más adelante trataremos el tema más a fondo, es interesante que conozcáis lo que es la base de la semejanza y la proporcionalidad:
El Teorema de Tales, que nos va a permitir dividir un segmento en partes iguales, o bien en partes proporcionales a otras.
Desde la fotografía podéis acceder a un enlace de librosvivos.net, donde os dan más detalles.



Puedes modificar el ángulo que forma la semirrecta con el segmento AB, para comprobar que el resultado es invariable.
Otra opción es cambiar la magnitud de los segmentos que llevamos sobre dicha semirrecta, arrastrando el punto C a lo largo de ésta, así como modificar la magnitud del segmento AB.

En el caso de que queramos dividir un segmento en partes proporcionales a otras se procede de un modo parecido.
Os enlazo una construcción de Luis Pérez en la que podéis ver cómo hacerlo.