sábado, 13 de junio de 2015

PAU 2014/2015 Madrid (soluciones)

Examen en pdf

OPCIÓN A

EJERCICIO A1
Dibujar el eje y la directriz de una parábola definida por su vértice V y su foco F, y hallar con precisión y sin dibujar la parábola:
a) Los puntos de la misma situados a 50 mm de la directriz y las tangentes en dichos puntos.
b) La intersección de la parábola con la recta r, perpendicular a su eje y que pasa por su foco. Explicar el concepto utilizado para resolver este apartado.

Para visualizar correctamente estos ejercicios es mejor ponerlos a pantalla completa

PAU Madrid junio 2015 A1

A1.-Dibujar el eje y la directriz de una parábola definida por su vértice V y su foco F, y hallar con precisión y sin dibujar la parábola: a) Los puntos de la misma situados a 50 mm de la directriz y las tangentes en dichos puntos. b) La intersección de la parábola con la recta r, perpendicular a su eje y que pasa por su foco. Explicar el concepto utilizado para resolver este apartado.

EJERCICIO A2
Dibujar el tetraedro regular que tiene una de sus caras en el plano vertical de proyección y se encuentra íntegramente en el primer cuadrante, sabiendo que una de las aristas de esta cara es el segmento r, dado por su proyección vertical. Trazar la sección producida en el tetraedro por un plano horizontal de cota 25 mm.

PAU 20015 (Madrid) A 2

PAU JN 2014-2015 A2 (Madrid).- Dibujar el tetraedro regular que tiene una de sus caras en el plano vertical de proyección y se encuentra íntegramente en el primer cuadrante, sabiendo que una de las aristas de esta cara es el segmento r, dado por su proyección vertical. Traza la sección producida en el tetraedro por un plano horizontal de cota 25. (Aquí 30)


EJERCICIO A3
La pieza representada en dibujo isométrico ha sido cortada por dos planos: el plano que pasa por el punto A y es paralelo al plano zoy del triedro, y el plano que pasa por el punto B y es paralelo al plano zox del triedro. Representar, en la misma posición y con la misma orientación y escala, la parte de la pieza resultante de retirar la porción que contiene al punto C (la más próxima al observador) tras el corte con los planos indicados.

La pieza de la galería 3D puede manipularse en el espacio (funciona bien con los navegadores Firefox y Chrome).



OPCIÓN B

EJERCICIO B1
Dados los segmentos AC y d, se pide:
a) Dibujar un rombo tal que el segmento AC sea una de sus diagonales y la distancia entre sus lados paralelos sea d.
b) Aplicar al rombo dibujado un giro de centro A, ángulo de giro 120º y sentido horario; así como otro giro del mismo centro y ángulo, pero en sentido antihorario.

Las diagonales de un rombo se bisecan y son perpendiculares entre sí, por tanto podremos determinar la dirección de esa diagonal.

Para el trazado de los lados paralelos con una separación determinada d, dibujaremos la circunferencia inscrita de radio d/2, de tal manera que los lados sean las tangentes trazadas a ésta desde los puntos A y C. Mediremos así la distancia de forma perpendicular a los lados.
Enlace en la imagen

Os adjunto, otra forma de resolver la distancia entre lados paralelos que me ha enviado Emilio Merino a través de un comentario y que me parece más clara que la mía. La distancia entre lados paralelos está resuelta gracias a un arco capaz de 90º sobre el segmento AC, de forma que se determinan dos triángulos rectángulos simétricos, en los que uno de los catetos es la distancia buscada y que debe ser medida siempre sobre la perpendicular a ambas paralelas.
 Tenéis su explicación en la propia página de GeoGebratube. El enlace a dicha construcción está también en la imagen.


El ejercicio del giro de 120º en ambos sentidos, está hecho junto al trazado del rombo a escala 1/3. Podemos modificar la distancia entre las paralelas gracias al deslizador.
En el ejercicio planteado en el examen, el ángulo que se forma en A es de 120º, por lo que al girar el rombo en ambos sentidos 120º utilizando como centro de giro el punto A, obtendríamos un hexágono regular.

EJERCICIO B2
Se nos pide que dibujemos el triángulo ABC en Verdadera magnitud y situar sobre las proyecciones su ortocentro O.
Al abatir el triángulo comprobamos que es equilátero, con lo que todos sus puntos notables coinciden. En el ejercicio está hallado el ortocentro sobre el triángulo abatido, pero no sería necesario hacerlo, ya que en proyecciones las distancias relativas se mantienen, es decir, el punto medio de un segmento sigue equidistando de los extremos de éste. Bastaría con hallar el baricentro de los triángulos que aparecen en proyecciones.
Es mejor verlo a pantalla completa.

PAU Madrid junio 2015. B2

Dibujar en verdadera magnitud el triángulo ABC dado por sus proyecciones, y situar en ellas el ortocentro O.


EJERCICIO B3
Representar el dibujo isométrico (sin aplicar el coeficiente de reducción) de la pieza que se ofrece en el sistema diédrico. Es necesario representar las aristas ocultas.

Se trata de una pieza cuya única dificultad radica en el plano inclinado que no se aprecia como tal en sus proyecciones y que sin embargo debemos deducir a través de las aristas ocultas.
En la construcción de GeoGebra 3D podéis, manteniendo pulsado el botón derecho del ratón, girar la pieza, así como restándole opacidad con el deslizador, visualizar sus aristas ocultas.

Para ver la pieza en Realidad Aumentada con Aumentaty, haz clic en el enlace para acceder a la escena y descárgate el visor e imprime la marca asociada a la pieza. 

lunes, 8 de junio de 2015

S. DIÉDRICO: ABATIMIENTOS (Punto, recta y plano)

En el SISTEMA DIÉDRICO las figuras contenidas en los planos no se aprecian en VERDADERA MAGNITUD salvo en los casos de paralelismo con los planos de proyección.
Para determinar dicha magnitud podemos utilizar varios métodos. Uno de ellos es el ABATIMIENTO de los planos haciendolos coincidir con uno de los de proyección,(vertical u horizontal) utilizando para ello como eje de giro o CHARNELA una de las trazas del plano (la horizontal si abatimos sobre este plano y la vertical si el abatimiento se realiza sobre el Vertical de Proyección).
De esta manera la charnela coincidirá con ella misma tras el abatimiento (será una recta de puntos dobles).
El primero de los casos que vamos a ver es el del ABATIMIENTO DE UN PUNTO.
Aitoreche dispone de una serie de vídeos con muy buenas explicaciones sobre el tema.

El siguiente ejercicio que vamos a realizar será el ABATIMIENTO DE UNA RECTA.
Para ello nos serviremos de los puntos dobles de la CHARNELA.
El punto traza de la recta sobre la charnela será a su vez un punto de la recta abatida, con lo cual el ejercicio se reduce al caso anterior, pues dos puntos determinan una recta.
El siguiente ejercicio a realizar será el abatimiento de un plano, cuyo interés radica en el hecho de abatir aquellos elementos que contiene el plano (formas planas) de forma que podamos observarlos en VERDADERA MAGNITUD.

Una vez que hayas comprendido cómo deben realizarse los abatimientos, prueba a realizar esta sencilla lámina.
Aquí tienes los enlaces a las soluciones de los ejercicios. Procura recurrir a ellos para comprobar las tuyas:
1.- Abatimiento de un punto sobre el plano horizontal.
2.- Abatimiento de un punto sobre el plano vertical.
3.- Abatimiento de una recta oblicua.

domingo, 31 de mayo de 2015

SISTEMA DIÉDRICO: DISTANCIAS

La distancia en el Sistema Diédrico es la VERDADERA MAGNITUD (es decir, la medida real) de la separación entre puntos, planos y rectas en el espacio.
En proyecciones dichas medidas se ven reducidas por el efecto de la oblicuidad de dichos elementos respecto a los planos de proyección. Tan sólo habrá coincidencia entre la medida en proyecciones y la dimensión real en los casos de paralelismo con dichos planos. 
Con esta presentación comprenderéis mejor el concepto de DISTANCIA.
Debajo de la presentación tenéis el ejercicio de DISTANCIAS entre punto y plano en formato Mongge.
Aquí tenéis el ejercicio 14.2, en el que se nos pide que hallemos la distancia que separa a dos puntos en Verdadera Magnitud.

Distancia entre dos puntos

Halla la DISTANCIA que separa los puntos A y B, en proyecciones y en Verdadera Magnitud.

Geometría-Descriptiva.-Distancias

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DISTANCIA EN VM ENTRE PUNTO Y PLANO

Determina la DISTANCIA que existe entre el punto A y el plano dado en VERDADERA MAGNITUD.


Y aquí tenéis el ejercicio 15.1 en el que se nos pide hallar un punto que diste una distancia determinada de un plano (se trata en realidad de una variante del caso anterior). Debemos recordar que los problemas de distancias como éste, son en realidad  ejercicios de perpendicularidad.

Punto situado a una distancia x de un plano

Halla las proyecciones del punto que dista 43 mm del plano teniendo en cuenta que A es el punto más cercano de dicho plano.


Y por último tenéis el segundo de los ejercicios de esta lámina (15.2) en el que se nos pide que hallemos el plano que equidista de dos puntos A y B.

PLANO QUE EQUIDISTA DE DOS PUNTOS

Traza el plano que equidista de los puntos A y B.


Y aquí tenéis el 15.4, en el que se nos pide trazar un plano paralelo a otro a una distancia determinada.

PLANO PARALELO A OTRO A 30 mm DE DISTANCIA

Halla las proyecciones del plano que dista 30 mm del dado.


Si, como en el ejercicio 15.3 se nos pide determinar la distancia real entre dos planos paralelos, deberemos en primer lugar determinar la intersección de ambos planos con una recta perpendicular. Tendremos un punto de intersección con cada uno de ellos y después de hallar la distancia en proyecciones determinaremos la real de la forma que hemos visto en esta entrada.
Aquí lo tenéis.

DISTANCIA EN VERDADERA MAGNITUD ENTRE DOS PLANOS PARALELOS

Determina la distancia existente entre los dos planos paralelos.

lunes, 25 de mayo de 2015

SISTEMA DIÉDRICO: PERPENDICULARIDAD RECTA-PLANO

En el caso de perpendicularidad entre rectas y planos en el SISTEMA DIÉDRICO nos vamos a encontrar con que, -al contrario de lo que ocurría con el paralelismo, ésta sí se va a ver reflejada en las proyecciones sobre los planos de referencia.

Esto es, si un plano y una recta son perpendiculares en el espacio, dicha perpendicularidad se verá reflejada en sus proyecciones. 

Es importante que dominemos el concepto de PERPENDICULARIDAD, ya que es la base sobre la que determinar las distancias entre planos, entre punto y plano, etc. 

Un ejemplo podría ser el trazado de la altura de una pirámide recta contenida en un plano oblicuo.

 Si se nos pide el trazado de un plano que conteniendo a un punto sea perpendicular a una recta dada deberemos en primer lugar hallar las trazas de una recta que contenga al punto, generalmente una horizontal o frontal de plano, debido a que una de sus proyecciones será paralela a la traza del plano buscado.(Aquí tenéis el ejercicio).

Plano perpendicular a recta por un punto

Traza un plano que conteniendo al punto A, sea perpendicular a la recta r.


- Recta perpendicular a un plano por uno de sus puntos. Ej 11.1
- Recta perpendicular a un plano definido por otras dos que se cortan. Ej 11.3
- Plano perpendicular a una recta conteniendo un punto. Ej 12.1

DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO

La determinación de distancias es la aplicación más usual de la perpendicularidad.
 En el siguiente ejercicio hallaremos dicha distancia tan sólo en proyecciones, aunque lo realmente interesante será hallar la verdadera magnitud de dicha distancia (ese será el siguiente concepto que aprenderemos).
Tenéis el ejercicio en dos formatos. En el caso del vídeo está explicado paso a paso, pero os lo subo también en formato MONGGE para que podáis verlo al ritmo que queráis.

Distancia de un punto a un plano

Determina (en proyecciones) la distancia existente entre el punto A y el plano dado.


 Os enlazo otro ejercicio similar a éste. En este caso el plano es paralelo a la Línea de Tierra con lo cual la distancia entre el punto y el plano se verá en Verdadera Magnitud en el plano de perfil. AQUÍ tenéis el ejercicio resuelto.
EJERCICIO 12.2

miércoles, 20 de mayo de 2015

S. DIÉDRICO: PARALELISMO

Se pueden dar casos de paralelismo entre:
1.- DOS RECTAS
2.- ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO
3.- ENTRE DOS PLANOS
Dicho paralelismo se reflejará en las proyecciones de dichos elementos en los casos 1 y 3, es decir, si dos rectas son paralelas en el espacio sus proyecciones homónimas también lo serán.
En el caso de que el paralelismo se de entre planos las respectivas trazas de dichos planos serán paralelas entre sí.
En cuanto al segundo caso, es interesante saber que si la relación de paralelismo se da entre recta y plano, las proyecciones de ambos no serán paralelas. Una recta será paralela a un plano cuando lo sea, al menos, a una recta de éste.

Aquí tenéis un vídeo de Ana Isabel Sánchez Cabanas en el que se os explica el PARALELISMO entre los distintos elementos de forma detallada y además simultáneamente en perspectiva y en el Sistema diédrico.


En el siguiente ejercicio se nos pide el trazado de un plano que conteniendo a una recta r sea además paralelo a otra recta s.

PLANO PARALELO A UNA RECTA

Traza un plano que conteniendo a la recta r sea además paralelo a la recta s.

Ejercicio 9.1

Ejercicio 9.2
Ejercicio 9.4


El ejercicio 9.2, os lo dejo además, explicado en vídeo para que no os quepa ninguna duda sobre como resolverlo.

Una vez que realices la lámina 9 prueba a hacer ésta otra.
Aquí os dejo un vídeo con los ejercicios de paralelismo que os he dado en clase.
 Por si os interesa verlos más despacio os los enlazo más abajo.

PLANO PARALELO A OTRO Y QUE CONTENGA A UN PUNTO

Traza un plano paralelo al dado y que contenga al punto A



-Ejercicio 2
-Ejercicio 3
-Ejercicio 4
Aquí tenéis un applet de geogebra de forma que podáis entender mejor el segundo ejercicio en el que se nos pide el trazado de un plano paralelo a otro y que contenga además  a un punto A.

lunes, 18 de mayo de 2015

SECCIONES PLANAS

Dentro de las aplicaciones de la intersección de rectas y planos, tenemos las intersecciones de pirámides y prismas con planos, que generan un punto de intersección con aristas del poliedro. La unión de dichos puntos sería la sección generada por dicho plano sobre el cuerpo.
El plano que hemos utilizado en este caso es proyectante vertical y la sección que genera en la pirámide puede apreciarse en proyecciones, así como en Verdadera Magnitud. Imprime ésta lámina y realiza las intersecciones de la pirámide con el plano proyectante y del prisma con el plano oblicuo. Ten en cuenta que se trata en realidad de intersecciones entre rectas y planos.

 En este segundo caso las aristas del prisma son rectas perpendiculares al plano horizontal, por lo que para hallar su intersección con el plano oblicuo deberemos utilizar planos que conteniendo a dichas aristas sean paralelos al plano vertical, es decir planos frontales (por si no recuerdas como hacerlo aquí tienes el ejercicio resuelto con una recta de punta y un plano horizontal).
La intersección de un plano frontal con uno oblicuo es una frontal de plano, que, intersecará a las aristas del prisma en un punto.
( En este caso hemos trazado tan sólo las rectas y no los planos horizontales que pasan por la proyección horizontal de las aristas y que coincide con los vértices de las bases al estar todos sus puntos  confundidos en dicha proyección).

SECCIONES PLANAS Y HOMOLOGÍA  
Este ejercicio podríais resolverlo ya, realizando la intersección de un plano oblicuo con las aristas de la pirámide que son a su vez rectas oblicuas (utilizando para ello planos proyectantes).
Por si no recordáis como hacerlo aquí tenéis el método.

El próximo año utilizaréis un método que simplifica la resolución del ejercicio y que consiste en aprovechar la relación de homología que existe entre la base y la sección producida por el plano secante (es el que he usado en este caso).
 Comprobad que los lados de la base y de la sección convergen al prolongarlos, en puntos dobles situados sobre la traza horizontal del plano. Imprime ésta lámina y realiza las intersecciones de pirámide y prisma con sendos planos oblicuos.

Aquí tenéis un ejercicio similar resuelto con Mongge por el usuario Antonio.

Sección de una pirámide por un plano oblícuo

Trazar la sección producida por P en la pirámide de base triangular.


La intersección puede darse igualmente entre figuras poliédricas y rectas, en cuyo caso necesitaremos trazar previamente un plano que contenga a la recta y de esta forma determinar los puntos de intersección.

domingo, 17 de mayo de 2015

S. DIÉDRICO: INTERSECCIÓN DE RECTA Y PLANO

Una recta y un plano se intersecan en un punto. Para determinar dicho punto debemos hallar la intersección del plano con otro que contenga a la recta (recordad que para que una recta esté contenida en un plano, las trazas de dicha recta -que son puntos, deberán estar situadas sobre las trazas del plano -que son rectas). Ambas rectas se cortarán en el punto buscado.

Generalmente utilizaremos planos proyectantes para contener a las rectas dadas, debido a su facilidad de trazado.

Intersección recta plano

...

Puede darse también el caso de que se nos pida determinar el punto de intersección de una recta perpendicular a uno de los planos de proyección con un plano oblicuo
AQUÍ tienes el ejercicio resuelto paso a paso.
En el caso de que el plano sea incidente con la LINEA DE TIERRA recurriremos al plano de perfil. AQUÍ tenéis el ejercicio resuelto.
Una vez que hayas entendido como resolver estos ejercicios realiza esta lámina

miércoles, 13 de mayo de 2015

S. DIÉDRICO: INTERSECCIONES (PLANOS)


La intersección de dos planos es una recta que queda determinada por dos de sus puntos. 

Generalmente esos dos puntos serán los de intersección de las trazas homónimas de los planos y que serán por lo tanto puntos contenidos en los planos de proyección. Si un punto A está contenido en el plano vertical, su proyección horizontal A1, se hallará sobre la línea de tierra ya que no posee alejamiento. En cambio si el punto pertenece al plano horizontal, será su proyección vertical la que estará situada en la línea de tierra, pues no tiene cota.
En el siguiente applet puedes modificar la posición y la forma de los planos, transformándolos por ejemplo, en proyectantes, para ver cómo será en cada caso su recta intersección.
Luis Pérez en su web uno618, tiene una construcción mucho más completa en la que puedes modificar y ver simultáneamente ambos planos y su recta intersección en dos Sistemas de Representación: Axonométrico y Diédrico. Aquí lo tienes enlazado.

RECTA INTERSECCIÓN DE DOS PLANOS OBLICUOS

...


 -INTERSECCIÓN DE DOS PLANOS CON DOS TRAZAS PARALELAS

-INTERSECCIÓN DE DOS PLANOS: UNO INCIDENTE CON LA L.T Y OTRO PARALELO A L.T
-INTERSECCIÓN DE DOS PLANOS CUYAS TRAZAS SE CORTAN FUERA DE LOS LÍMITES DEL PAPEL.
-INTERSECCIÓN DE DOS PLANOS PARALELOS a la LÍNEA DE TIERRA
-INTERSECCIÓN DE DOS PLANOS OBLICUOS (que se cortan en un cuadrante distinto del 1º)
Y AQUÍ tenéis más ejercicios resueltos

domingo, 3 de mayo de 2015

SISTEMA DIÉDRICO: EL PLANO


Representamos un plano mediante sus TRAZAS, esto es, mediante las rectas de intersección de éste con los planos horizontal y vertical de proyección.
Dichas rectas, que suelen nombrarse mediante letras griegas con su correspondiente subíndice, se cortan en un punto de la Linea de Tierra.
Los planos , por ser ilimitados se prolongan a partir de su punto de concurrencia sobre la LT. Claro está, la parte vista será la contenida en el primer cuadrante o diedro.




Si una recta pertenece a un plano, sus trazas (puntos) deberán situarse sobre las del  plano.


Si un punto pertenece al plano deberá estar contenido en una recta del mismo.




FORMAS DE DEFINIR UN PLANO:
Un plano puede estar definido por:
-Dos rectas que se cortan.
-Dos rectas paralelas
-Una recta y un punto que no pertenece a dicha recta.
-Tres puntos no alineados.



Os dejo unas presentaciones sobre los tipos de planos, así como las rectas que estos pueden contener que creo que pueden seros de utilidad.
DiedricoPlanos
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Os dejo una serie de ejercicios realizados con MONGGE.
Ya sabéis que podéis ampliar el ejercicio y verlo a pantalla completa. Además si os interesa que se pare en sitios concretos para que os de tiempo a entender cada paso, podéis hacer CLIC sobre el paso correspondiente para activar la pausa (el paso seleccionado aparecerá de color rojo).


4.1.- PLANO DEFINIDO POR DOS RECTAS QUE SE CORTAN
(Ojo con la diferencia entre cortarse y cruzarse. Siempre os digo que los aviones, afortunadamente se cruzan, es decir, van a distintas alturas aunque vistos desde arriba pudiera parecer que se superponen).

4.2.- PLANO DEFINIDO POR DOS RECTAS PARALELAS Ir al enlace

4.3.- PLANO DEFINIDO POR TRES PUNTOS NO ALINEADOS

4.4.- PLANO DEFINIDO POR SU RECTA DE MÁXIMA INCLINACIÓN (o de máxima pendiente). 
Otros ejercicios:
-5.5
-5.6

PERTENENCIA DE PUNTO A PLANO

  Un punto pertenece a un plano cuando está contenido en una recta de ese plano.
 Ese punto puede pertenecer a cualquiera de los cuadrantes, ya que,aunque sólo sean visibles los elementos contenidos en el primer cuadrante o diedro, los planos son ilimitados, es decir, se extienden más allá de sus trazas pasando a los demás cuadrantes.

En el siguiente ejercicio se resuelve la pertenencia al plano de dos puntos situados en distintos cuadrantes o diedros. 
En este caso se nos da una sola de las proyecciones y se nos pide la restante teniendo en cuenta que el punto pertenece al plano.
 La mecánica en ambos casos es la misma: Se hace pasar una recta, que generalmente es una frontal u horizontal de plano (por la facilidad de su trazado) de forma que contenga al punto y, así poder referir la proyección buscada sobre ésta.

PERTENENCIA DE PUNTOS Y PLANOS

...

Aquí os dejo la solución a uno de los ejercicios sobre pertenencia de punto a plano explicado para que os resulte más fácil de entender.
 Es conveniente que veáis que el método no varía independientemente de si el punto pertenece al primer cuadrante o a cualquiera de los demás. Una figura plana estará contenida en un plano si todos sus puntos lo están. Generalmente nos darán las proyecciones incompletas y nos pedirán que determinemos las restantes teniendo en cuenta que la figura pertenece a un plano.  Para ello nos valdremos de rectas que perteneciendo al plano contengan a su vez a los puntos (vértices).
Dichas rectas suelen ser horizontales o frontales de plano -por su facilidad de trazado; aunque pueden utilizarse para ello cualquier tipo de recta que pase por los puntos.

Proyección horizontal de una figura plana contenida en un plano

...



Modifica la posición de las proyecciones verticales de los vértices del cuadrilátero (situando sobre ellos el cursor y arrastrando), así como las trazas del plano con los deslizadores. ¿Cómo es la proyección horizontal del cuadrilátero cuando convertimos el plano oblicuo en proyectante horizontal?
 Observa igualmente que si modificas la posición de los vértices haciendo que los lados del cuadrilátero queden paralelos en una de las proyecciones, dicho paralelismo se mantendrá también en la otra proyección.
En el caso de que el plano que contiene a la figura sea paralelo a la Linea de Tierra podríamos recurrir a la tercera proyección para resolverlo:

-Solución recurriendo al plano de perfil
-Solución sin recurrir al plano de perfil

La figura plana puede estar contenida en un plano proyectante. Modifica la forma del cuadrilátero contenido en el plano beta, y observa en qué planos de proyección se ven ciertas medidas en Verdadera Magnitud.
 Si pulsas el botón derecho y desplazas el ratón podrás girar los planos en el espacio y observar mejor las proyecciones de la figura plana.