miércoles, 29 de octubre de 2014

POLÍGONOS REGULARES

En este applet, podéis ver como obtener polígonos regulares (equiláteros y equiángulos), dividiendo de forma igualmente regular la circunferencia.
Estos polígonos se obtienen de forma inmediata al dividir la circunferencia en tres, seis y doce partes en los casos del triángulo, del hexágono y del dodecágono.
En el caso del cuadrado y del octógono deberemos dividir la circunferencia en cuatro y ocho partes respectivamente.


Para el estudio de los trazados y propiedades de los polígonos regulares os remito a la página de Luis Pérez Vega: uno618, en la los tenéis recogidos mediante estupendos applets interactivos de GeoGebra:

-Propiedades y trazados generales (dado el lado y dado el radio de la circunferencia circunscrita).
-Trazados particulares

Especialmente bonitos son los múltiples trazados que tiene sobre el pentágono regular (no es necesario que sepáis trazarlos, pero sí es interesante que comprobéis que en numerosas ocasiones hay más de un camino correcto para resolver un problema geométrico).
Si os fijáis en la fotografía que aparece en dicha página, veréis como hacer un pentágono regular partiendo de una simple tira de papel.
En éste vídeo podéis ver cómo.

El caso del pentágono  es un tanto especial, (de hecho su estrellado era el símbolo de los Pitagóricospor su relación con el número de oro, y por eso lo veremos con más detalle más adelante.


Otra estupenda herramienta que podéis utilizar está enlazada en la imagen. Se trata del material, recogido en el proyecto Agrega, de Antonio Márquez, se hace aquí un recorrido por los elementos de los polígonos regulares, sus procesos constructivos, así como el estudio del pentágono, polígonos estrellados y ejercicios de evaluación.

Si unimos cada uno de los vértices de un polígono con todos los demás obtendremos una figura conocida como hilorama,
El hilorama es una técnica que se caracteriza por la utilización de hilos de colores, cuerdas o alambres tensados que se enrollan alrededor de un conjunto de clavos para formar figuras geométricas, abstractas u otros tipos de representaciones y que normalmente se realiza sobre una base de madera.
Aquí tenéis una muestra realizada con GeoGebra.

jueves, 16 de octubre de 2014

CUADRILÁTEROS

El CUADRILÁTERO es el polígono de cuatro lados.
Podemos clasificarlos en base a sus ángulos en convexos y cóncavos.


CONVEXO: Cuando el polígono está situado en uno de los semiplanos determinados por cualquieran de sus lados (es decir, si prolongamos cualquiera de sus lados, TODO el polígono queda a un lado o al otro de esa línea). Si el polígono es convexo sus ángulos interiores son siempre menores que 180º.








CÓNCAVO: Cuando considerando todas y cada una de las rectas que componen sus lados, el polígono se encuentra en ambos semiplanos. En este caso existe siempre un ángulo mayor de 180º.




PROPIEDADES FUNDAMENTALES:
La suma de los cuatro ángulos interiores de un cuadrilátero es igual a 360º, esto es a la suma de los ángulos de los dos triángulos en los que se descompone.


 




Todo cuadrilátero convexo que tenga dos ángulos opuestos suplementarios (que sumen 180º) es inscriptible en una circunferencia.




En todo cuadrilátero circunscriptible las sumas de los lados opuestos son iguales.
AB+CD=BC+AD
 


CLASIFICACIÓN Y CARACTERÍSTICAS:

TRAPEZOIDE: Cuadriláteros sin lados paralelos.
TRAPECIOS: Cuadriláteros con dos lados (bases) paralelos (su altura sería la distancia entre las bases). 
Pueden clasificarse en : Rectángulo, isósceles y escaleno.



PARALELOGRAMOS:
Tienen los lados opuestos iguales y paralelos dos a dos.
ROMBOIDE: Lados y ángulos opuestos iguales entre sí.
RECTÁNGULO: Lados opuestos iguales, ángulos rectos y diagonales iguales (se bisecan).
ROMBO: Lados iguales y ángulos opuestos iguales dos a dos. Diagonales distintas pero se cortan formando un ángulo recto.
CUADRADO: Lados y ángulos iguales (rectos).

Si quieres repasar de una forma divertida, entra AQUÍ.


Aquí tenéis resueltos los ejercicios 11, 12 y el ejercicio 13 de cuadriláteros. Se trata de un problema muy similar a otros que hemos resuelto ya en el caso de los triángulos.
-Ejercicio 14
-Ejercicio 15
-Ejercicio 16
-Ejercicio 17
-Ejercicio 18


Os he grabado un pequeño vídeo para que entendáis mejor como se resuelve el ejercicio 17.

sábado, 11 de octubre de 2014

TRIÁNGULOS (EJERCICIOS)

Algunos de los ejercicios que vamos a hacer en clase son muy sencillos y sabréis probablemente realizarlos sin ayuda. Otros, son un poco más complicados y os vendrá bien poder verlos de nuevo.
EJERCICIOS RESUELTOS:
- Problema 1.1
- Problema 1.2 (con variantes)
- Problema 1.3
-Aquí tenéis resuelto el problema 1.4 en formato MONGGE. (el de la imagen)
Se nos da el valor de dos de los lados, así como la altura de uno de ellos.
- Ejercicio 1.5 
- Ejercicio 1.6
- Ejercicio 1.7 

Ejercicio 1.8

Triángulos y arco capaz

Construcción de un triángulo. Datos: a=100 A=45º ma=80

Aquí tenéis una variante del ejercicio 1.9, en el que se nos pide la construcción de un triángulo en el que se nos dan dos medianas y el valor de uno de los lados.
Debéis recordar que la MEDIANA une el punto medio de cada lado con el vértice opuesto, y que el BARICENTRO (punto de corte de las tres medianas de un triángulo), está situado a 2/3 del valor de la mediana respecto del vértice opuesto, mientras que la distancia al lado es de 1/3 de su valor.

El ejercicio 1.10 lo podéis ver con una construcción de GeoGebra. Se trata de una animación, pero sigue siendo interactiva.

Existe otra forma de resolver este ejercicio. Para ello es necesario saber que el romboide es un paralelogramo cuyas diagonales se bisecan (ojo, no disecan), es decir, se cortan en su punto medio.

Triángulos (ej 10)

Construcción de un triángulo. Datos: A=60º b=60 ma=80

- Os enlazo aquí el ejercicio 1.11 (Mongge), con pequeñas modificaciones de datos, así como el ejercicio 1.12 con pequeñas variantes.
El ejercicio 1.13 se resuelve por semejanza.
El ejercicio 1.14 es un poco más complicado. Debéis tener además en cuenta que puede resolverse de dos formas (ambas correctas).

Construcción de triángulos (14)

Construcción de triángulos. Datos: a=80 b+c=140 A=60º


El ejercicio 1.15 se resuelve por semejanza entre triángulos.
Dos triángulos son semejantes si tienen ángulos iguales y lados proporcionales.

TRIÁNGULOS Y ARCO CAPAZ

Es muy típico el ejercicio de triángulos en el que se nos da el valor del ángulo del vértice opuesto a uno de los lados, o bien, podemos deducir del enunciado uno de los valores angulares de forma que necesitemos aplicar el concepto de ARCO CAPAZ.

El segundo de los PROBLEMAS DE TRIÁNGULOS que os facilité es un buen ejemplo.
Haciendo clic sobre la imagen podréis al documento en formato Mongge. 
 Si os fijáis este ejercicio es prácticamente idéntico al 1.14, con la única salvedad del valor del ángulo en el vértice A.

Y aquí tenéis también el ejercicio 3 de triángulos.

Este otro ejercicio salió en la PAU (Selectividad) del año 2003. Es bastante sencillo y podríais resolverlo ya.

Por si queréis realizar algunos ejercicios más. Os dejo ésta otra lámina.

Las soluciones están aquí: Ejercicio 1, ejercicio 2, ejercicio 3 y ejercicio 4.