jueves, 21 de noviembre de 2013

EJERCICIOS DE TANGENCIAS

Aquí tenéis un pequeño vídeo explicándoos una de las piezas que os dí. Contiene tangencias básicas entre rectas y circunferencias (tangente común exterior a dos circunferencias dadas) y entre circunferencias ( con un arco de circunferencia de radio conocido). Tan sólo tenéis que recordar las CONDICIONES DE TANGENCIA en ambos casos:


- En el caso de la tangencia entre rectas y circunferencias, debéis recordar que el radio que pasa por el punto de tangencia siempre es perpendicular a la recta.
- Si hablamos de tangencias entre circunferencias deberéis saber que el punto de tangencia entre ambas está en la linea que une sus centros.



Aquí os dejo resueltas en formato Mongge siete de las piezas que os encargué hacer (la octava la tenéis en el vídeo):
-Pieza 1
-Pieza 2
-Pieza 3
-Pieza 4
-Pieza 5
-Pieza 7
-Pieza 8


Si os situáis sobre la imagen veréis en funcionamiento el mecanismo piñón-cremallera (en este caso con un tornillo sin fin), que transforma el movimiento  lineal en circular y que se vale, como otros muchos, del uso de tangencias (circunferencia tangente a una recta en este caso).


Podéis encontrar tangencias igualmente en los sistemas de engranajes con cadena (tangentes comunes exteriores a dos circunferencias), y en los sistemas de poleas con correa.
Os dejo este vídeo que hice con un programa de simulación llamado Algodoo para Tecnologías de 1º de ESO, en el que reconoceréis, supongo, una pieza denominada "engranaje loco" que, al colocarse entre otros dos engranajes, se encarga de que ambos giren en el mismo sentido, sin modificar por ello su relación de transmisión.
Aquí tenéis un montón de láminas  para que realicéis piezas industriales con tangencias (algunas de ellas ya las habéis hecho).
En muchas ocasiones deberemos aplicar una escala a la hora de representar piezas industriales u otros objetos cuyo tamaño puede ser mayor o menor que el del soporte.
Tenéis una buena explicación sobre como realizar escalas gráficas en la página Dibujotécnico.com.

jueves, 14 de noviembre de 2013

TANGENCIAS Y ENLACES

El próximo tema que vamos a estudiar es el de TANGENCIAS Y ENLACES centrándonos en los casos más básicos.
Una vez que sepamos hacerlas, realizaremos una serie de piezas que las contienen.
Os dejo una presentación en la que vais a encontrar los casos más relevantes explicados paso a paso. 
Tema 5 Tangencias Y Enlaces

Ana Isabel Sánchez tiene una serie de vÍdeos sobre tangencias realmente interesantes. Si quieres verlos PULSA AQUÍ
TANGENCIAS ENTRE RECTAS Y CIRCUNFERENCIAS
Rectas tangentes a una circunferencia que pasen por un punto exterior P: Resolución paso a paso.
Rectas tangentes comunes exteriores a dos circunferencias.
Para resolver este ejercicio vamos a reducirlo a uno más sencillo que es el que hemos visto antes, es decir, hallar las rectas tangentes a una circunferencia pasando por un punto exterior P. Para ello, restamos el radio de la circunferencia de menor tamaño a la de mayor radio (ojo hay que restarlo desde un punto de la circunferencia mayor). Si trazamos las rectas tangentes a la circunferencia resultante desde O2 obtendremos dos rectas paralelas a las soluciones que buscamos.
Rectas tangentes comunes interiores a dos circunferencias.
En este caso deberemos sumar a la circunferencia mayor el radio de la menor, para obtener las tangentes solución como paralelas a las trazadas a la circunferencia de radio la suma de los de las dos circunferencias desde el centro-punto O2 (volvemos a simplificar el ejercicio para trabajar con el primero de los supuestos).
Os dejo estos tres ejercicios también en formato Mongge.

TANGENTES COMUNES EXTERIORES E INTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS

Tangentes comunes exteriores e interiores a dos circunferencias


A veces se nos puede dar el caso de que necesitemos trazar la recta tangente a un arco de centro inaccesible. Puede resolverse de la siguiente forma.

Tangente a un arco de circunferencia de centro inaccesible.

Trazado de la recta tangente a un arco de circunferencia por un punto T, siendo el centro de dicho arco inaccesible.

 Aquí tenéis resueltos en formato MONGGE los casos más importantes de TANGENCIAS Y ENLACES BÁSICOS.
-Tangencias básicas entre rectas y circunferencias (conocido el radio de la circunferencia)
-Tangencias básicas entre rectas y circunferencias (desconociendo el radio)
Dos de estos tres ejercicios os los dejo también en formato GeoGebra. El tercero lo hicimos también cuando vimos el incentro de un triángulo y los exincentros de las circunferencias exinscritas.
-
Y en el vídeo tenéis resuelto otro de los ejercicios que vamos a realizar.
TANGENCIAS ENTRE CIRCUNFERENCIAS
El punto de tangencia entre dos circunferencias está en la línea que une sus centros.
-Tangencias entre circunferencias 
-Circunferencias tangentes a otras dos (es el ejercicio que tenéis debajo en la construcción de GeoGebra).
-Circunferencias tangentes a otras dos II


ENLACES
-Enlaces
-Enlaces sobre una línea poligonal quebrada


TANGENCIAS SECUNDARIAS
Aquí tenéis los enlaces para acceder a los ejercicios en formato Mongge:
- Circunferencias del mismo radio tangentes entre sí y a los lados de un triángulo equilátero.
n circunferencias tangentes entre sí y a su vez tangentes a otra (en este caso 8).

TANGENCIAS POR HOMOTECIA
Tenéis los ejercicios enlazados a las dos imágenes.

Aquí tenéis resuelto el primero de los ejercicios en formato Mongge.
Y en este otro enlace tenéis la solución del segundo.
Aparte de los ejercicios que ya os he dado, haremos estos otros en clase (os los dejo enlazados por si los queréis repetir):
-Tangencias básicas (fundamentos).

Enlazada a la imagen tenéis una estupenda aplicación flash de Jose Antonio Cuadrado, que trata el tema de forma interactiva, con ejercicios que podéis realizar desde la propia aplicación. Cuenta también con ejercicios de evaluación adaptados a distintos niveles, así como apuntes.

sábado, 9 de noviembre de 2013

HOMOTECIA

La HOMOTECIA es una transformación geométrica en el plano en la que, dado el centro de homotecia O y una razón de homotecia K0 que puede ser positiva + o negativa -, a todo punto A le corresponde otro punto A´, alineado con el centro de homotecia O, cumpliéndose que OA´/OA= k.
Se trata de una transformación ISOMÓRFICA dado que la figura que obtenemos tras su aplicación tiene la misma forma, aunque no necesariamente el mismo tamaño. La transformación puede ser así mismo DIRECTA (se conserva el sentido del plano), si K>0  o INVERSA (la figura homotética no conserva el sentido del plano de la original), si K<0.


  • Si los puntos A y A´están al mismo lado de O la homotecia es directa o positiva
  • Si los puntos A y A´están a ambos lados de O la homotecia es inversa o negativa
  • Si K=1 y el centro de Homotecia es propio, tenemos una identidad, donde A=A´.
  • Si K=-1 la homotecia se transforma en una simetría central (o un giro de 180º)
Prueba a modificar, con el deslizador K, la razón de homotecia, así como la forma y la posición tanto de la figura plana original como la situación del centro de homotecia para comprender mejor este concepto.
Comprueba que los segmentos homotéticos son paralelos y que los puntos homotéticos están siempre alineados con el centro de homotecia.


Anabel Sánchez (Profesora de Dibujo Técnico en el SEK) tiene una serie de vídeos muy interesantes con los que podréis comprender mejor este concepto.




 Aquí tenéis una aplicación práctica: Se nos pide hallar la figura homotética de la que me dan, se trata de un hexágono regular y el centro O de homotecia está situado en el exterior de la figura. La figura homotética resultante será de menor tamaño que el hexágono original dado, ya que K=2/5. Puesto que la razón K es positiva el hexágono resultante estará entre el que me dan y el centro de homotecia.


Aquí vemos un caso de HOMOTECIA NEGATIVA o INVERSA. El centro de homotecia O, quedará entre las dos figuras: la dada y la resultante. Dado que K=-2 la figura resultante tendrá el doble de tamaño que la original y sentido contrario. O estará entre ambas figuras.
OA´=2OA´



Aquí tenéis otro caso de homotecia negativa o inversa, en la que además el centro de homotecia es un vértice del polígono.



Y un ejercicio más de HOMOTECIA POSITIVA, pero con la peculiaridad de que el centro de homotecia está en el centro del polígono.
Aquí os dejo algunos de los ejercicios que os he planteado resueltos.
Recordad que la HOMOTECIA es un tipo especial de semejanza entre figuras, de forma que los vértices de la figura original y su transformada están alineados con un punto denominado centro de homotecia.
Los lados de ambas figuras deben ser además paralelos entre sí, tanto si la homotecia es positiva como si es negativa.
EJERCICIOS
El ejercicio que tenéis aquí resuelto es el de los que os he propuesto:

HALLA LA FIGURA HOMOTÉTICA A PARTIR DE DE LOS PUNTOS TRANSFORMADOS

...



 Os dejo también el   nº 5,  ejercicio 15, el nº 30 y el ejercicio nº 32
Del  ejercicio 14 os dejo la solución también en formato Mongge.

FIGURA HOMOTÉTICA (homotecia inversa)

Halla el cuadrado homotético del dado, en una homotecia de centro en O y razón K=-2/3

El ejercicio 30 lo tenéis también como una construcción de GeoGebra. 
También el número 32.
Os dejo también resuelto el ejercicio 26. Observad que la distancia AB, siempre es el doble que la distancia AC aunque cambie la posición del punto A o la de las rectas.

Aqui tenéis el ejercicio 36 resuelto igualmente con GeoGebra.
Si lo queréis en formato Mongge, lo tenéis aquí.

El ejercicio número 4 es algo más complicado, dado que se trata de un ejercico de homotecia en el que se nos pide que tracemos una figura plana semejante a la anterior pero con un área 3 veces mayor. La razón de homotecia entre áreas equivale a la √  del número que nos den, en este caso 3.
Lo tenéis resuelto con GeoGebra y enlazado a la imagen. Recordad que para hallar la raíz cuadrada de un número utilizábamos el Teorema de la altura.

HOMOTECIA ENTRE CIRCUNFERENCIAS
Como podéis comprobar en este applet los centros de homotecia entre circunferencias están alineados con los centros de éstas. Los radios homotéticos son paralelos entre sí.
El centro de homotecia directo coincide con el punto de corte de la tangente común exterior con la línea de centros y el centro de homotecia inverso con el punto de intersección de dicha línea con la tangente común interior de ambas circunferencias.


Aquí tenéis resuelto en formato Mongge el ejercicio en el que se nos pide determinar los centros de Homotecia directa e inversa de dos circunferencias (ej 13).

HOMOTECIA ENTRE CIRCUNFERENCIAS


Algunos ejercicios de tangencias pueden resolverse también mediante una Homotecia como el que tenéis a continuación.

Y aquí tenéis el ejercicio 39. Se trata de un ejercicio  algo más difícil que los anteriores.
Mientras me animo a hacer un nuevo video con las construcciones de GeoGebra os dejo éste que hice hace un par de años. Dado que ya hemos hecho los ejercicios en clase os servirá, espero, para repasarlos de cara al examen.

miércoles, 6 de noviembre de 2013

GIROS:EJERCICIOS DE APLICACIÓN

A pesar de que realizar un giro es relativamente sencillo, es difícil sin embargo "ver" en que ocasiones un ejercicio de transformaciones geométricas debe resolverse mediante un giro.
Os dejo uno de los que vamos a realizar sobre papel, en formato Mongge, para que podáis ver el procedimiento por pasos. Se trata del ejercicio nª 11.

Como podréis ver se puede resolver de dos formas:
 En la primera de ellas giraremos la circunferencia 60º, y en la segunda, que os dejo enlazada giraremos la recta el mismo ángulo. El centro de giro será el punto A, que es a su vez uno de los vértices del triángulo equilátero que me piden (hay dos posibles soluciones).

GIROS

Dibuja los posibles triángulos equiláteros que teniéndo el punto A como uno de sus vértices tienen otro apoyado sobre la recta dada y el tercero sobre la circunferencia.


Aquí tenéis el enlace al segundo método para resolver el ejercicio.
Os dejo igualmente un Applet de GeoGebra con este ejercicio para que podáis "manipular" la construcción y modificar los datos iniciales. Aquí tenéis resuelto otro ejercicio de giros que presenta también cierta dificultad.
Se trata en este caso de dibujar los posibles cuadrados que tienen dos de sus vértices apoyados sobre las rectas dadas, conociendo además uno de ellos.
 Existen múltiples variantes de este ejercicio, ya que se os pueden dar dos rectas paralelas, o bien pediros  un triángulo equilátero en vez de un cuadrado.
Tened en cuenta que si las rectas son paralelas las dos soluciones posibles tendrán el mismo tamaño, y que si las rectas son convergentes el tamaño será diferente, tanto en el caso del cuadrado como del triángulo.

CUADRADO APOYADO SOBRE DOS RECTAS CONVERGENTES (giro)

...


Para que podáis comprender mejor como funcionan este tipo de ejercicios os he preparado un Applet de GeoGebra, para que podáis modificar los parámetros y comprobar como en todos los casos podemos conseguir dos triángulos equiláteros apoyados sobre ambas rectas tras girar una de ellas 60º tomando como centro de giro el vértice A, hasta que ésta se corte con la otra en otro de los vértices, con lo que contaré ya con el lado del triángulo equilátero.
Probad a situar el punto A en otro lugar o cambiad la inclinación de las rectas, para comprobar que el resultado se mantiene (varía el tamaño de los triángulos, pero siguen siendo equiláteros).
Es interesante también que comprobéis que el resultado es el mismo tanto si giramos la recta r como si lo hacemos con s. (Tenéis el ejercicio enlazado a la imagen)

Debajo tenéis otra construcción pero en este caso lo que se nos pide trazar no es un triángulo, sino un cuadrado con un vértice apoyado sobre cada recta y el tercero en A, con lo que el giro deberá hacerse de 90º que es el ángulo que existe entre dos vértices consecutivos del polígono (en el caso del triángulo, éste era de 60º).


Aquí tenéis otro ejercicio de aplicación del mismo concepto.