SISTEMA DIÉDRICO: DISTANCIAS

La distancia en el Sistema Diédrico es la VERDADERA MAGNITUD (es decir, la medida real) de la separación entre puntos, planos y rectas en el espacio.
En proyecciones dichas medidas se ven reducidas por el efecto de la oblicuidad de dichos elementos respecto a los planos de proyección. Tan sólo habrá coincidencia entre la medida en proyecciones y la dimensión real en los casos de paralelismo con dichos planos. 

Con esta presentación comprenderéis mejor el concepto de DISTANCIA.
Debajo de la presentación tenéis el ejercicio de DISTANCIAS entre punto y plano en formato Mongge.
Aquí tenéis el ejercicio 14.2, en el que se nos pide que hallemos la distancia que separa a dos puntos en Verdadera Magnitud.

Geometría Descriptiva. Distancias de dibutec

Y aquí tenéis el ejercicio 15.1 en el que se nos pide hallar un punto que diste una distancia determinada de un plano (se trata en realidad de una variante del caso anterior). Debemos recordar que los problemas de distancias como éste, son en realidad  ejercicios de perpendicularidad.

Y por último tenéis el segundo de los ejercicios de esta lámina (15.2) en el que se nos pide que hallemos el plano que equidista de dos puntos A y B.

Y aquí tenéis el 15.4, en el que se nos pide trazar un plano paralelo a otro a una distancia determinada.

Si, como en el ejercicio 15.3 se nos pide determinar la distancia real entre dos planos paralelos, deberemos en primer lugar determinar la intersección de ambos planos con una recta perpendicular. Tendremos un punto de intersección con cada uno de ellos y después de hallar la distancia en proyecciones determinaremos la real de la forma que hemos visto en esta entrada.
Aquí lo tenéis.
Ejercicio PAU 2010 (Fase general)

SISTEMA DIÉDRICO: PERPENDICULARIDAD RECTA-PLANO

En el caso de perpendicularidad entre rectas y planos en el SISTEMA DIÉDRICO nos vamos a encontrar con que, -al contrario de lo que ocurría con el paralelismo, ésta sí se va a ver reflejada en las proyecciones sobre los planos de referencia.

Esto es, si un plano y una recta son perpendiculares en el espacio, dicha perpendicularidad se verá reflejada en sus proyecciones. 

Es importante que dominemos el concepto de PERPENDICULARIDAD, ya que es la base sobre la que determinar las distancias entre planos, entre punto y plano, etc. 

Un ejemplo podría ser el trazado de la altura de una pirámide recta contenida en un plano oblicuo.

 Si se nos pide el trazado de un plano que conteniendo a un punto sea perpendicular a una recta dada deberemos en primer lugar hallar las trazas de una recta que contenga al punto, generalmente una horizontal o frontal de plano, debido a que una de sus proyecciones será paralela a la traza del plano buscado.(Aquí tenéis el ejercicio).

- Recta perpendicular a un plano por uno de sus puntos. Ej 11.1
- Recta perpendicular a un plano definido por otras dos que se cortan. Ej 11.3
- Plano perpendicular a una recta conteniendo un punto. Ej 12.1

DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO

La determinación de distancias es la aplicación más usual de la perpendicularidad.

 En el siguiente ejercicio hallaremos dicha distancia tan sólo en proyecciones, aunque lo realmente interesante será hallar la verdadera magnitud de dicha distancia (ese será el siguiente concepto que aprenderemos).

Tenéis el ejercicio en dos formatos. En el caso del vídeo está explicado paso a paso, pero os lo subo también en formato MONGGE para que podáis verlo al ritmo que queráis.

 Os enlazo otro ejercicio similar a éste. En este caso el plano es paralelo a la Línea de Tierra con lo cual la distancia entre el punto y el plano se verá en Verdadera Magnitud en el plano de perfil. AQUÍ tenéis el ejercicio resuelto.


EJERCICIO 12.2

S. DIÉDRICO: PARALELISMO

Se pueden dar casos de paralelismo entre:
1.- DOS RECTAS
2.- ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO
3.- ENTRE DOS PLANOS
Dicho paralelismo se reflejará en las proyecciones de dichos elementos en los casos 1 y 3, es decir, si dos rectas son paralelas en el espacio sus proyecciones homónimas también lo serán.
En el caso de que el paralelismo se de entre planos las respectivas trazas de dichos planos serán paralelas entre sí.
En cuanto al segundo caso, es interesante saber que si la relación de paralelismo se da entre recta y plano, las proyecciones de ambos no serán paralelas. Una recta será paralela a un plano cuando lo sea, al menos, a una recta de éste.

Aquí tenéis un vídeo de Ana Isabel Sánchez Cabanas en el que se os explica el PARALELISMO entre los distintos elementos de forma detallada y además simultáneamente en perspectiva y en el Sistema diédrico.


En el siguiente ejercicio se nos pide el trazado de un plano que conteniendo a una recta r sea además paralelo a otra recta s. Ejercicio 9.1
Ejercicio 9.2
Ejercicio 9.3
Ejercicio 9.4

El ejercicio 9.2, os lo dejo además, explicado en vídeo para que no os quepa ninguna duda sobre como resolverlo.

Una vez que realices la lámina 9 prueba a hacer ésta otra. Aquí os dejo un vídeo con los ejercicios de paralelismo que os he dado en clase.
 Por si os interesa verlos más despacio os los enlazo más abajo.



-Ejercicio 2
-Ejercicio 3
-Ejercicio 4
Aquí tenéis un applet de geogebra de forma que podáis entender mejor el segundo ejercicio en el que se nos pide el trazado de un plano paralelo a otro y que contenga además  a un punto A.

SECCIONES PLANAS

Dentro de las aplicaciones de la intersección de rectas y planos, tenemos las intersecciones de pirámides y prismas con planos, que generan un punto de intersección con aristas del poliedro. La unión de dichos puntos sería la sección generada por dicho plano sobre el cuerpo.
El plano que hemos utilizado en este caso es proyectante vertical y la sección que genera en la pirámide puede apreciarse en proyecciones, así como en Verdadera Magnitud. Imprime ésta lámina y realiza las intersecciones de la pirámide con el plano proyectante y del prisma con el plano oblicuo. Ten en cuenta que se trata en realidad de intersecciones entre rectas y planos.

 En este segundo caso las aristas del prisma son rectas perpendiculares al plano horizontal, por lo que para hallar su intersección con el plano oblicuo deberemos utilizar planos que conteniendo a dichas aristas sean paralelos al plano vertical, es decir planos frontales (por si no recuerdas como hacerlo aquí tienes el ejercicio resuelto con una recta de punta y un plano horizontal).
La intersección de un plano frontal con uno oblicuo es una frontal de plano, que, intersecará a las aristas del prisma en un punto.
( En este caso hemos trazado tan sólo las rectas y no los planos horizontales que pasan por la proyección horizontal de las aristas y que coincide con los vértices de las bases al estar todos sus puntos  confundidos en dicha proyección).

SECCIONES PLANAS Y HOMOLOGÍA  
Este ejercicio podríais resolverlo ya, realizando la intersección de un plano oblicuo con las aristas de la pirámide que son a su vez rectas oblicuas (utilizando para ello planos proyectantes).
Por si no recordáis como hacerlo aquí tenéis el método.

El próximo año utilizaréis un método que simplifica la resolución del ejercicio y que consiste en aprovechar la relación de homología que existe entre la base y la sección producida por el plano secante (es el que he usado en este caso).
 Comprobad que los lados de la base y de la sección convergen al prolongarlos, en puntos dobles situados sobre la traza horizontal del plano. Imprime ésta lámina y realiza las intersecciones de pirámide y prisma con sendos planos oblicuos.

Aquí tenéis un ejercicio similar resuelto con Mongge por el usuario Antonio.
La intersección puede darse igualmente entre figuras poliédricas y rectas, en cuyo caso necesitaremos trazar previamente un plano que contenga a la recta y de esta forma determinar los puntos de intersección.