CURVAS CÓNICAS: PARÁBOLA

La parábola es una curva plana y abierta, que se define como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan (están a la misma distancia) de un punto fijo F, llamado foco y de una recta fija llamada directriz.
Tiene un eje de simetría en el que se sitúan el foco, el vértice de la parábola y el punto D, de corte del eje con la directriz (que es perpendicular al eje).

DV=VF

La circunferencia focal es, en esta curva cónica la, directriz. Allí estarán los simétricos del FOCO respecto de las tangentes trazadas a la curva.


Puede definirse también la parábola como el lugar geométrico de los centros de las circunferencias que pasando por el foco son tangentes a la directriz.


Al igual que en los casos de la ELIPSE y la HIPÉRBOLA, existe la circunferencia principal, que es aquí de radio infinito y se transforma en la perpendicular al eje por el vértice. Es como en las demás cónicas el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas a las tangentes a la curva desde los focos (lo cuál nos permite hallar el foco  a partir de una tangente, la dirección del eje y el vértice por ejemplo).

Además de los ejercicios que haremos en clase podéis realizar alguno de los que propone R. Barbieri en su BLOG:dibujotecnicoonline.com y que tiene resueltos paso a paso. 

En este vídeo podéis ver como se construye la PARÁBOLA por puntos.

Aquí tenéis en formato Mongge uno de los ejercicios de Parábolas en el que nos dan tan sólo un punto y el Foco de la curva.
Y otro con el trazado de la tangente a la curva paralela a una dirección dada.

- Ejercicio 2. Parábola conocidos dos puntos y el foco.
- Ejercicio 3. Parábola conocidos el foco y dos tangentes.
- Ejercicio 4. Parábola dados el foco y una tangente.

Para que os resulten más fáciles de comprender los ejercicios que hemos realizado en clase os  he grabado tres de ellos. 

Espero que de esta manera, os queden claros algunos conceptos como el de la DIRECTRIZ , que es la circunferencia focal de la parábola; que es de radio infinito por ser el otro foco un punto impropio, con lo que se transforma en una recta. En la directriz hallaríamos los simétricos del foco respecto de las tangentes a la curva.

Y aquí tenéis entre otros ejercicios, la tangente a la parábola paralela a una dirección dada, así como el ejercicio anterior.

Os dejo el ejercicio que cayó en el examen para que comprobéis que no era tan difícil.

CURVAS CÓNICAS: HIPÉRBOLA

La HIPÉRBOLA es una curva plana, abierta (lo que la diferencia de la ELIPSE), con dos ramas.
Dispone de dos ejes: 
El EJE REAL que contiene los focos: F1F2=2c y los vértices de la curva que podemos denominar AB, AA´,VV¨, etc. En todos estos casos y aunque haya diferencias de nomenclatura, esa distancia se denomina  2a. 
Al EJE VIRTUAL, perpendicular al eje real podemos denominarlo CD, BB¨, etc, pero en todos los casos será igual a 2b.

DEFINICIÓN

Puede definirse como el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a otros dos fijos llamados focos es constante e igual a la magnitud del eje real AB=2a

Si quieres saber como construir la Hipérbola por puntos, haz clic aquí

CIRCUNFERENCIA FOCAL Y CIRCUNFERENCIA PRINCIPAL
En lo que respecta a estos dos conceptos, las definiciones que nos servían para la ELIPSE sirven igualmente para la HIPÉRBOLA.
Existen DOS CIRCUNFERENCIAS FOCALES (igual que en la elipse), cada una de ellas con centro en uno de los focos. Se podría definir la CIRCUNFERENCIA FOCAL, como el lugar geométrico de los puntos simétricos del otro foco respecto de las tangentes trazadas a la curva. El radio de dichas circunferencias es 2a=AB, es decir la magnitud del eje real.

La CIRCUNFERENCIA PRINCIPAL tiene como centro O (punto de corte de los ejes real y virtual) y RADIO a (semieje real). Se define como el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas a las tangentes a la curva.

TANGENTES A UNA HIPÉRBOLA DESDE UN PUNTO EXTERIOR

En este vídeo se os explica como trazar las tangentes a la HIPÉRBOLA desde un punto exterior utilizando para ello la circunferencia focal:

Este ejercicio puede resolverse también utilizando para ello las propiedades de la circunferencia principal.

Os dejo en formato Mongge varios de los ejercicios que vamos a realizar en clase:
1.- Construcción de la HIPÉRBOLA por puntos.
2.- Construir una HIPÉRBOLA de la que conocemos sus asíntotas y el valor del eje real AB.
3.- Construir una HIPÉRBOLA conociendo los FOCOS y un punto P.
4.- Construir una HIPÉRBOLA conocidos los FOCOS y una TANGENTE t.
5.- HIPÉRBOLA conociendo el eje real y la tangente t1.
6.- HIPÉRBOLA conociendo un FOCO y tres tangentes.

Además de los ejercicios que vamos a realizar en clase sería conveniente que intentarais resolver éste. Se trata de un ejercicio de Selectividad del año 2009 que podríais resolver ya.


ENUNCIADO:
Trazar las tangentes desde un punto P a la hipérbola de focos F y F' que pasa por un punto Q. Obtener gráficamente los puntos de tangencia, sin dibujar la curva.

Os dejo la solución explicada en el vídeo y por si queréis verla a vuestro ritmo os dejo el enlace al ejercicio en formato Mongge.

Una vez que hayáis visto el vídeo es interesante que manipuléis la construcción de GeoGebra que os dejo debajo.



Otro ejercicio que podéis intentar resolver es éste:
Dibujar la hipérbola conocidos un foco F, dos tangentes t1 y t2 y la magnitud del semieje mayor o real a.
También aquí tenéis la solución en formato Mongge y en vídeo. 

Como en el caso del anterior ejercicio os dejo una construcción interactiva de GeoGebra.

CURVAS CÓNICAS: ELIPSE

ELIPSE


Aquí tenéis los enlaces a unos estupendos VÍDEOS (realizados por Aitor Echevarría) con los CONCEPTOS más importantes sobre esta CURVA CÓNICA:
-ELIPSE: Definición, elementos y propiedades más importantes.
-RECTAS TANGENTES A UNA ELIPSE desde un punto exterior P (ejercicio 9).
-TANGENTES A LA ELIPSE PARALELAS a una DIRECCIÓN dada (ejercicio 10).
En este caso el ejercicio está resuelto utilizando la circunferencia focal. Os dejo en formato mongge otra forma de solucionarlo utilizando para ello la circunferencia principal.

Aquí tenéis también en formato Mongge la construcción de la ELIPSE dados los ejes AB y CD

 Os dejo también un applet interactivo de GeoGebra para intentar aclararos sus elementos y propiedades.

ELIPSE: EJERCICIOS

Os dejo en formato Mongge el ejercicio del trazado de rectas paralelas a una dirección dada tangentes a una elipse definida por sus focos y conocida la magnitud 2a (ej 3.1)

Otros ejercicios que podéis realizar son los siguientes:

-Dados los ejes mayor y menor de una elipse dibújala por afinidad (ejercicio 1).

- Determinar los ejes de la elipse a partir de los dos focos y uno de sus puntos P (ejercicio 2).
 - Dado un punto P de la elipse, una tangente t y el eje menor CD, dibujar el punto de tangencia de la elipse con T (ejercicio 3).
-Tangente a una elipse por un punto P (ejercicio 4).
- El ejercicio 5 lo tenéis en vídeo debajo (resuelto a través de la circunferencia focal)
-Ejes de una elipse dados un foco, una tangente y las magnitudes 2a y 2c. (ejercicio 6)
-Obtener los ejes de la elipse conociendo un foco, dos tangentes y el punto de tangencia de una de ellas (ejercicio 7).
Os dejo el ejercicio explicado también en formato vídeo.


-Rectas tangentes a una elipse definida por sus focos,  paralelas a una dirección dada. Se nos da la magnitud del eje mayor. (ejercicio 3.1)
-Rectas tangentes a una ELIPSE desde un punto exterior P (ejercicio 3.2. El ejercicio 9 es una variante del mismo).

-Hallar los parámetros de una elipse conocidos sus focos y una tangente t (ejercicio 3.3. Lo tenéis también en vídeo).



Aquí os dejo las soluciones  de los ejercicios 3.3 y 3.4 de ELIPSE en formato vídeo.
Es importante que tengáis claros los conceptos de CIRCUNFERENCIA FOCAL, así como el de CIRCUNFERENCIA PRINCIPAL. 
Procurad no memorizar nunca los ejercicios, ya que si lo hacéis así, no podréis resolver problemas similares en los que se modifican tan sólo las posiciones de los datos, y sobre todo y lo que es peor, olvidaréis rápidamente lo "aprendido" . En  cualquier materia es importante que la estudiéis después de comprenderla. En el caso del DIBUJO TÉCNICO es imprescindible hacerlo así.

En este segundo caso, que puede solucionarse de otra forma  (utilizando la circunferencia focal), os pido que lo hagáis utilizando la CIRCUNFERENCIA PRINCIPAL (lugar geométrico de los pies de las perpendiculares a las tangentes a la curva trazadas desde los focos).

CURVAS CÓNICAS (Introducción)

Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas intersección entre un cono y un plano; siempre que dicho plano no pase por el vértice.

Se clasifican en tres tipos: ELIPSE, PARÁBOLA e HIPÉRBOLA.

Para ayudaros a comprender los conceptos relacionados con las CURVAS CÓNICAS: DEFINICIÓN, PARÁMETROS Y PROPIEDADES tenéis esta potentísima herramienta interactiva diseñada  por Jose Antonio CUADRADO.


Son estupendos también los applets interactivos de Luis Pérez sobre curvas cónicas. Además podréis encontrar en su página innumerables problemas resueltos por pasos.

Si os interesa conocer los USOS DE LAS CURVAS CÓNICAS EN LA VIDA REAL no dejéis de ver este capítulo de "MÁS POR MENOS"

Con este applet de GeoGebra comprenderéis mejor conceptos como el de los focos de una cónica, así como el de sus directrices.
Puedes desplazar el plano que genera la cónica, moviendo los puntos A y B, y modificar la posición del punto P, para comprobar que se mantiene constante la excentricidad de cada sección cónica.