HOMOTECIA: EJERCICIOS

La HOMOTECIA es una transformación geométrica en el plano en la que, dado el centro de homotecia O y una razón de homotecia K≠0 que puede ser positiva + o negativa -, a todo punto A le corresponde otro punto A´, alineado con el centro de homotecia O, cumpliéndose que OA´/OA= k.
Se trata de una transformación ISOMÓRFICA dado que la figura que obtenemos tras su aplicación tiene la misma forma, aunque no necesariamente el mismo tamaño. La transformación puede ser así mismo DIRECTA (se conserva el sentido del plano), si K>0  o INVERSA (la figura homotética no conserva el sentido del plano de la original), si K<0.

• Si los puntos A y A´están al mismo lado de O la homotecia es directa o positiva
• Si los puntos A y A´están a ambos lados de O la homotecia es inversa o negativa
• Si K=1 y el centro de Homotecia es propio, tenemos una identidad, donde A=A´.
• Si K=-1 la homotecia se transforma en una simetría central (o un giro de 180º)

Prueba a modificar, con el deslizador K, la razón de homotecia, así como la forma y la posición tanto de la figura plana original como la situación del centro de homotecia para comprender mejor este concepto.

Comprueba que los segmentos homotéticos son paralelos y que los puntos homotéticos están siempre alineados con el centro de homotecia.

Anabel Sánchez (Profesora de Dibujo Técnico en el SEK) tiene una serie de vídeos muy interesantes con los que podréis comprender mejor este concepto.




 Aquí tenéis una aplicación práctica: Se nos pide hallar la figura homotética de la que me dan, se trata de un hexágono regular y el centro O de homotecia está situado en el exterior de la figura. La figura homotética resultante será de menor tamaño que el hexágono original dado, ya que K=2/5. Puesto que la razón K es positiva el hexágono resultante estará entre el que me dan y el centro de homotecia.


Aquí vemos un caso de HOMOTECIA NEGATIVA o INVERSA. El centro de homotecia O, quedará entre las dos figuras: la dada y la resultante. Dado que K=-2 la figura resultante tendrá el doble de tamaño que la original y sentido contrario. O estará entre ambas figuras.

OA´=2OA´

Aquí tenéis otro caso de homotecia negativa o inversa, en la que además el centro de homotecia es un vértice del polígono.



Y un ejercicio más de HOMOTECIA POSITIVA, pero con la peculiaridad de que el centro de homotecia está en el centro del polígono.
Aquí os dejo algunos de los ejercicios que os he planteado resueltos.
Recordad que la HOMOTECIA es un tipo especial de semejanza entre figuras, de forma que los vértices de la figura original y su transformada están alineados con un punto denominado centro de homotecia.
Los lados de ambas figuras deben ser además paralelos entre sí, tanto si la homotecia es positiva como si es negativa.
EJERCICIOS
El ejercicio que tenéis aquí resuelto es el 3º de los que os he propuesto:

 Os dejo también el   nº 5,  ejercicio 15, el nº 30 y el ejercicio nº 32
Del  ejercicio 14 os dejo la solución también en formato Mongge.
El ejercicio 30 lo tenéis también como una construcción de GeoGebra. 
También el número 32. Os lo dejo además con una explicación en vídeo.

Os dejo también resuelto el ejercicio 26. Observad que la distancia AB, siempre es el doble que la distancia AC aunque cambie la posición del punto A o la de las rectas.

Aqui tenéis el ejercicio 36 resuelto igualmente con GeoGebra.
Si lo queréis en formato Mongge, lo tenéis aquí.

El ejercicio número 4 es algo más complicado, dado que se trata de un ejercico de homotecia en el que se nos pide que tracemos una figura plana semejante a la anterior pero con un área 3 veces mayor. La razón de homotecia entre áreas equivale a la √  del número que nos den, en este caso 3.
Lo tenéis resuelto con GeoGebra y enlazado a la imagen. Recordad que para hallar la raíz cuadrada de un número utilizábamos el Teorema de la altura.

HOMOTECIA ENTRE CIRCUNFERENCIAS
Como podéis comprobar en este applet los centros de homotecia entre circunferencias están alineados con los centros de éstas. Los radios homotéticos son paralelos entre sí.
El centro de homotecia directo coincide con el punto de corte de la tangente común exterior con la línea de centros y el centro de homotecia inverso con el punto de intersección de dicha línea con la tangente común interior de ambas circunferencias.


Aquí tenéis resuelto en formato Mongge el ejercicio en el que se nos pide determinar los centros de Homotecia directa e inversa de dos circunferencias (ej 13).
Algunos ejercicios de tangencias pueden resolverse también mediante una Homotecia como el que tenéis a continuación.

Y aquí tenéis el ejercicio 39. Se trata de un ejercicio  algo más difícil que los anteriores.
Mientras me animo a hacer un nuevo vídeo con las construcciones de GeoGebra os dejo éste que hice hace un par de años. Dado que ya hemos hecho los ejercicios en clase os servirá, espero, para repasarlos de cara al examen.


Por curiosidad y por si os interesa os dejo enlazados una par de ejercicios PAU en los que se utiliza esta transformación geométrica:
- PAU 2002/03
- PAU 2008/09

GIROS: EJERCICIOS DE APLICACIÓN

A pesar de que realizar un giro es relativamente sencillo, es difícil sin embargo "ver" en que ocasiones un ejercicio de transformaciones geométricas debe resolverse mediante un giro.
Os dejo uno de los que vamos a realizar sobre papel, en formato Mongge, para que podáis ver el procedimiento por pasos. Se trata del ejercicio nª 11.

Como podréis ver se puede resolver de dos formas:
 En la primera de ellas giraremos la circunferencia 60º, y en la segunda, que os dejo enlazada giraremos la recta el mismo ángulo. El centro de giro será el punto A, que es a su vez uno de los vértices del triángulo equilátero que me piden (hay dos posibles soluciones).
Aquí tenéis el enlace al segundo método para resolver el ejercicio.
Os dejo igualmente un Applet de GeoGebra con este ejercicio para que podáis "manipular" la construcción y modificar los datos iniciales. Aquí tenéis resuelto otro ejercicio de giros que presenta también cierta dificultad.
Se trata en este caso de dibujar los posibles cuadrados que tienen dos de sus vértices apoyados sobre las rectas dadas, conociendo además uno de ellos.
 Existen múltiples variantes de este ejercicio, ya que se os pueden dar dos rectas paralelas, o bien pediros  un triángulo equilátero en vez de un cuadrado.
Tened en cuenta que si las rectas son paralelas las dos soluciones posibles tendrán el mismo tamaño, y que si las rectas son convergentes el tamaño será diferente, tanto en el caso del cuadrado como del triángulo.

Para que podáis comprender mejor como funcionan este tipo de ejercicios os he preparado un Applet de GeoGebra, para que podáis modificar los parámetros y comprobar como en todos los casos podemos conseguir dos triángulos equiláteros apoyados sobre ambas rectas tras girar una de ellas 60º tomando como centro de giro el vértice A, hasta que ésta se corte con la otra en otro de los vértices, con lo que contaré ya con el lado del triángulo equilátero.
Probad a situar el punto A en otro lugar o cambiad la inclinación de las rectas, para comprobar que el resultado se mantiene (varía el tamaño de los triángulos, pero siguen siendo equiláteros).
Es interesante también que comprobéis que el resultado es el mismo tanto si giramos la recta r como si lo hacemos con s. (Tenéis el ejercicio enlazado a la imagen)

Debajo tenéis otra construcción pero en este caso lo que se nos pide trazar no es un triángulo, sino un cuadrado con un vértice apoyado sobre cada recta y el tercero en A, con lo que el giro deberá hacerse de 90º que es el ángulo que existe entre dos vértices consecutivos del polígono (en el caso del triángulo, éste era de 60º).


Otro  posible ejercicio podría ser éste, en el que se nos dan dos circunferencias y se nos pide que, con vértice en un punto A, situemos dos triángulos equiáteros de forma que tengan un vértice sobre cada una de las circunferencias dadas.
Y aquí tenéis otro ejercicio más en dos versiones (Mongge y GeoGebra). 
Os dejo en formato vídeo una playlist con los cinco ejercicios que hemos visto por si os pudiera ayudar a la hora de repasarlos.



EvAU Modelo 17-18 

 

SIMETRÍA: EJERCICIOS

Los ejercicios sobre mesa de billar son un típico ejemplo de la aplicación del concepto de SIMETRÍA.
Para resolverlos debemos saber que el ángulo de salida de la bola de billar al golpear la banda es igual al ángulo de incidencia.

En este ejercicio se nos pide que introduzcamos la bola roja en la tronera mediante un golpe a dos bandas.
Si queréis ver cómo puede resolverse acceded a la construcción enlazada a la imagen.


En este segundo ejercicio el golpe no debe ser a dos, sino a tres bandas. El enlace está igualmente en la imagen.
 Es interesante que manipuléis ambas construcciones,  para comprobar como afecta al resultado la posición de partida de la bola.

Este otro ejercicio es similar a los anteriores en el sentido de que se trabaja con el concepto de reflexión, es decir, en el caso de la luz el ángulo con el que el rayo incide en el espejo es el mismo que el de salida. En este caso y si no se especifica nada más, habría dos posibles soluciones .

TRASLACIÓN: EJERCICIOS

La traslación es una sencilla transformación geométrica en la que desplazamos una figura plana según un vector orientado con una medida determinada.
Se trata de una transformación isométrica (mantiene las medidas) e isomórfica (la forma de la figura trasladada es la misma), con lo que ambas figuras serán congruentes. También decimos de ella que es una transformación directa ya que conserva el sentido del plano.
Aquí tenéis resueltos los ejercicios 20, 21 y 24 de los que os di de transformaciones.
No creo que os haga falta, pero aquí tenéis el ejercicio 20 también en formato Mongge.

Este ejercicio os lo dejo también hecho con Mongge.



Los ejercicios 25, 28 y 29 son también de aplicación de este concepto. Si habéis entendido estos no creo que os resulten muy difíciles.