CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS FUNDAMENTALES (lugares geométricos)

En esta estupenda presentación de Fernando Jiménez  podéis ver los principales TRAZADOS GEOMÉTRICOS. Se trata de TRAZADOS FUNDAMENTALES porque vamos a necesitarlos para realizar otros muchos, más complejos, que estudiaremos más adelante.

Dibujo geométrico ESO de mulhacen

Es importante que aclaremos en primer lugar el concepto de LUGAR GEOMÉTRICO.

Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una determinada condición o tienen una propiedad común.

De esta forma podemos enunciar conceptos basados en dicha definición:

MEDIATRIZ: 
Mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos. Probablemente la definición que conocéis es la de que se trata de la perpendicular AL SEGMENTO por su punto medio (cosa que es cierta, pero esta otra es mucho más completa).
BISECTRIZ:
La bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de las rectas que forman el ángulo (lados). En cursos pasados se os dio una definición más sencilla: Bisectriz de un ángulo es la semirrecta que divide un ángulo en dos partes iguales.

En base a la definición de LUGAR GEOMÉTRICO podemos decir, por ejemplo, que una CIRCUNFERENCIA es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de otro fijo denominado CENTRO.

 
 Otro lugar geométrico sería la PARALELA MEDIA: 
Recta paralela a otras dos y que equidista de ellas. Todos las secantes trazadas a ambas rectas paralelas quedan interceptadas por estas en su punto medio, sea cual sea la dirección de dichas secantes. Compruébalo en este applet.

Otro ejercicio interesante puede ser el siguiente:
Por el punto B se hacen pasar rectas, y desde A trazaremos perpendiculares a éstas. Los puntos de intersección de esas perpendiculares con las rectas son los pies de las perpendiculares.

Aquí tenéis las láminas que vamos a realizar en clase sobre trazados fundamentales y trazados fundamentales 2 ,lugares geométricos y distancias . (Puedes imprimirlas)


Lámina 3.- Paralelismo y perpendicularidad (con regla y compás)  láminas 1 y 3 para imprimir
Ej 1.- Mediatriz de un segmento (construcción GeoGebra)
Ej 2.- Perpendicular a una recta por un punto A de ella
Ej 3.- Perpendicular a una recta por un punto A exterior
Ej 4.- Trazar una perpendicular a una semirrecta por su extremo (2 métodos). Método 2
Ej 5.- Paralela a una recta a una distancia determinada de ella.
Ej 6.- Recta paralela a otra por un punto exterior A. (método del compás)

Lámina 4.- Lugares geométricos
Ej 6.- Determinar el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de la recta r y del arco s.(Bisectriz de un ángulo mixtilíneo)
Ej 7.- Determinar el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los arcos m y n. (Bisectriz de un ángulo curvilíneo)

MATERIALES Y TRAZADO DE PARALELAS

Es importante que conozcáis el material que vamos a utilizar y, dado que hace ya dos años que no los usáis y que en muchos casos no estará en condiciones (bordes mellados o inexistentes) debido a caídas u otro tipo de accidentes, es muy probable que tengáis que reponerlo.


 Para empezar necesitaréis:

- Un juego de ESCUADRA y CARTABÓN: Os recomiendo que sean pequeñas (16 cm), de canto recto (sin bisel) y sin medidas. Si disponéis de unas de mayor tamaño de años anteriores podéis usarlas sin problema siempre y cuando pasen la ITV.
 Las plantillas pequeñas son bastante cómodas para tomar apuntes y realizar ejercicios de pequeño formato.
Aparte lógicamente de fijaros en el número que aparece en las plantillas para determinar si forman parte del mismo juego, debéis saber que la hipotenusa de la escuadra debe tener la misma medida que el cateto mayor del cartabón.

- REGLA: de unos 30 centímetros (el tamaño mayor con el que vamos a trabajar es DIN A4).

- COMPÁS: Es importante que elijáis un compás de calidad para poder trazar con cierta precisión. Es conveniente que las dos patas sean articuladas, y que tengáis siempre la mina de grafito afilada (de forma cónica o biselada). Algunos compases llevan incorporado un pequeño portaminas, pero cada vez son más difíciles de encontrar porque apenas se usan ya los estilógrafos de tinta china.

Forma correcta de usar el compás

- LÁPIZ 2H o PORTAMINAS 0,5: Si os inclináis por el portaminas recordad que 0,5 es el diámetro de la mina y la dureza debe ser la misma que la del lápiz (2H).
A algunos os suele resultar cómodo utilizar colores para tomar apuntes. Existen además minas de color para portaminas.

- GOMA DE BORRAR y SACAPUNTAS (si usas lápiz)

- ARCHIVADOR DIN A4: Es importante que mantengáis los apuntes y los ejercicios que vayamos haciendo ordenados. Recordad además que se os pedirán al finalizar cada trimestre y que suponen un 10% de la calificación de cada evaluación (no da buena impresión, y ya me ha ocurrido, encontrar apuntes de Filosofía entre los de Dibujo). 
- FOLIOS: Tamaño DIN A4




Antes de repasar conceptos sencillos vistos en otros cursos , debemos recordar el MANEJO DE LA ESCUADRA Y EL CARTABÓN para el trazado de paralelas y perpendiculares (recordad que debéis mantenerlas siempre limpias. Podéis hacerlo con agua y jabón y secarlas bien antes de usarlas de nuevo).
 Os dejo un vídeo que os aclarará si dudáis sobre la forma de colocar las reglas:




Aquí tenéis la primera práctica por si tuvierais que descargarla.

Además del trazado de paralelas y perpendiculares es importante que dominemos el juego de escuadra y cartabón para construir ángulos.

ORÍGENES Y USOS DEL DIBUJO TÉCNICO

Dibujo técnico:orígenes, clasificación y usos from Arte_Factory

 Las preciosas imágenes que puedes ver a continuación me las ha "prestado" Luis Pérez Vega (muchas gracias Luis).

Si haces clic sobre ellas podrás ir a la fuente original, es decir a su página web.

Vorderasiatisches Museum. Berlin                                                            Musée du Louvre. París

Ambos planos datan alrededor del año 2000 a.C. y son por tanto las primeras manifestaciones del uso del Dibujo Técnico en la Historia.

PAU 2014 (Madrid): SOLUCIONES

Aquí tenéis el examen de la PAU de este año.
Os dejo las soluciones de cinco de los ejercicios, así como un enlace para el ejercicio A3, que os dejo construido con SketchUp para que podáis manipular la pieza.

Ejercicio A1
Hallar los puntos del plano cuyas tangentes a las circunferencias de centros O y O1 dadas,  formen ángulos de 45º y 60º grados respectivamente. Justificar razonadamente los conceptos utilizados.

Os dejo la solución en forma de  applet interactivo de GeoGebra, de modo que podáis modificar las posiciones de las circunferencias, sus radios, así como los ángulos bajo los que se ven éstas.
Se trata en realidad de localizar los puntos de intersección de dos lugares geométricos, dos circunferencias concéntricas que se cortarán (si se cortan) en dos puntos que cumplirán simultáneamente ambas premisas.
Existen en este caso dos soluciones, pero podría ocurrir que no hubiera ninguna, o tan sólo una si esas circunferencias fueran tangentes.
El ejercicio se resuelve construyendo dos deltoides, uno por cada circunferencia,  dos de cuyos lados serían radios de la circunferencia que formarían a su vez 90º con las tangentes desde uno de los puntos buscados.
Dichos segmentos de tangente serías los otros dos lados iguales del cuadrilátero.

Dado que los ángulos de un cuadrilátero suman 360º y conocemos tres de ellos, es muy fácil deducir el cuarto para construirlo. Ese cuarto vértice estaría situado sobre el centro de cada una de esas circunferencias y su ángulo sería el suplementario del que se nos da en el enunciado.
Los puntos A y B son los puntos desde los que se verán la circunferencias-dato bajo  el ángulo dado.

Ejercicio A2

Tenéis el enunciado en el propio ejercicio.
Para realizar este ejercicio es preciso recordar que el paralelismo, cuando se da entre rectas se aprecia también en proyecciones.
Es necesario también saber que para que una recta contenga a un punto, las proyecciones de éste deben situarse sobre las de la recta.
Una recta de máxima pendiente de un plano forma en su proyección horizontal un ángulo de 90º con la traza horizontal del plano. Tras hallar la recta de máxima pendiente del plano que además contiene al punto A, podremos determinar las trazas de dicha recta que serán puntos por los que deberán pasar necesariamente el plano que se nos pide.
Trazaremos en primer lugar la traza horizontal formando 90º con la proyección horizontal de la recta, y una vez conocido el vértice del plano, podremos determinar su traza vertical que pasará además por la traza V de la recta.
Ejercicio A3
Dibujar el corte AB en su posición normalizada y acotar en la vista resultante todas las dimensiones posibles, según normativa.

Por increíble que parezca las vistas de esta pieza contienen errores. Os dejo enlazada la corrección y posterior solución que Alberto García le da desde el Colegio El Prado. 
Dicho error está confirmado por la coordinadora de la PAU de la UAM. 

Para que comprobéis las diferencias entre el perfil dado y el correcto os dejo un applet de GeoGebra.
Activando la casilla correspondiente podréis ver alternativamente uno u otro.

Os dejo la pieza realizada con SketchUp con la corrección correspondiente.
Por si desearais verla en Realidad Aumentada con Aumentaty os dejo también el enlace y este otro para verlo con otro material.

Ejercicio B1
Trazar las circunferencias tangentes exteriores entre sí, de centros O, O1 y O2.
Justificar razonadamente los conceptos geométricos utilizados.

El Incentro del triángulo que se forma al unir los tres centros será el centro radical de las tres circunferencias tangentes.


Ejercicio B2
El segmento con proyección horizontal r1 es la arista de un cubo apoyado en el plano horizontal de proyección y situado íntegramente en el primer cuadrante. Trazar la sección producida por el plano alfa en dicho cubo.
El ejercicio es muy similar a éste que os dejo resuelto con Mongge y que hice hace ya algunos meses.
Dado que la arista se ve en verdadera magnitud es muy sencillo trazar el cuadrado en proyección horizontal y hallar después la proyección vertical de dicho cubo.

Existen tres métodos para resolver este ejercicio, podéis verlos todos en el blog de Dibujo Técnico del colegio El Prado
Ejercicio B3 
Representar el dibujo isométrico (respetando la posición del alzado en la perspectiva) de la pieza dada por sus proyecciones normalizadas (según el sistema europeo de representación), indicando aristas vistas y ocultas.
¡Ojo, que a pesar de que la vista que se nos da es la izquierda (situada a la derecha del alzado según el Sistema Europeo) la que se va a ver en el dibujo isométrico (no se aplica coeficiente de reducción) es, sin embargo, la derecha!
Se nos marca ya en el ejercicio la posición del alzado.


Podéis manipular la pieza que tenéis debajo para colocarla de forma que podáis comprobar su correspondencia con las vistas diédricas.
Está realizada con SketchUp y subida a la galería 3D Warehouse.



Si quereis ver la pieza en Realidad Aumentada con Aumentaty haced clic aquí para descargaros la escena.
Para poder visualizarla es necesario descargar el visor de Aumentaty e imprimir el marcador que viene con la escena.