GIROS:EJERCICIOS DE APLICACIÓN

A pesar de que realizar un giro es relativamente sencillo, es difícil sin embargo "ver" en que ocasiones un ejercicio de transformaciones geométricas debe resolverse mediante un giro.
Os dejo uno de los que vamos a realizar sobre papel, en formato Mongge, para que podáis ver el procedimiento por pasos. Se trata del ejercicio nª 11.

Como podréis ver se puede resolver de dos formas:
 En la primera de ellas giraremos la circunferencia 60º, y en la segunda, que os dejo enlazada giraremos la recta el mismo ángulo. El centro de giro será el punto A, que es a su vez uno de los vértices del triángulo equilátero que me piden (hay dos posibles soluciones).
Aquí tenéis el enlace al segundo método para resolver el ejercicio.
Os dejo igualmente un Applet de GeoGebra con este ejercicio para que podáis "manipular" la construcción y modificar los datos iniciales. Aquí tenéis resuelto otro ejercicio de giros que presenta también cierta dificultad.
Se trata en este caso de dibujar los posibles cuadrados que tienen dos de sus vértices apoyados sobre las rectas dadas, conociendo además uno de ellos.
 Existen múltiples variantes de este ejercicio, ya que se os pueden dar dos rectas paralelas, o bien pediros  un triángulo equilátero en vez de un cuadrado.
Tened en cuenta que si las rectas son paralelas las dos soluciones posibles tendrán el mismo tamaño, y que si las rectas son convergentes el tamaño será diferente, tanto en el caso del cuadrado como del triángulo.

Para que podáis comprender mejor como funcionan este tipo de ejercicios os he preparado un Applet de GeoGebra, para que podáis modificar los parámetros y comprobar como en todos los casos podemos conseguir dos triángulos equiláteros apoyados sobre ambas rectas tras girar una de ellas 60º tomando como centro de giro el vértice A, hasta que ésta se corte con la otra en otro de los vértices, con lo que contaré ya con el lado del triángulo equilátero.
Probad a situar el punto A en otro lugar o cambiad la inclinación de las rectas, para comprobar que el resultado se mantiene (varía el tamaño de los triángulos, pero siguen siendo equiláteros).
Es interesante también que comprobéis que el resultado es el mismo tanto si giramos la recta r como si lo hacemos con s. (Tenéis el ejercicio enlazado a la imagen)

Debajo tenéis otra construcción pero en este caso lo que se nos pide trazar no es un triángulo, sino un cuadrado con un vértice apoyado sobre cada recta y el tercero en A, con lo que el giro deberá hacerse de 90º que es el ángulo que existe entre dos vértices consecutivos del polígono (en el caso del triángulo, éste era de 60º).


Aquí tenéis otro ejercicio de aplicación del mismo concepto.

MANDALAS (simetría radial)

EQUIVALENCIAS

Decimos que dos superficies planas son equivalentes cuando tienen distinta forma e igual área.
En el caso de la imagen podemos apreciar que los tres triángulos tienen la misma base y la misma altura.
Dado que el área de un triángulo equivale al producto de la base por la altura, podemos asegurar que en los tres casos la superficie es la misma.

Podemos obtener también un rectángulo equivalente a un triángulo.
Éste tendrá la misma base y la mitad de la altura del triángulo, ya que el área de ambos será              base x altura/2
Las figuras están coloreadas así para que podamos apreciar su equicomposición, es decir, las formas  de las que están compuestas ambas son las mismas.

Podemos con facilidad eliminar un lado de un polígono ya que los triángulos son equivalentes si manteniendo su base, su altura no se modifica.
De esta forma podemos eliminar uno o más lados de cualquier polígono, hasta convertirlo si así lo deseamos en un triángulo equivalente al polígono de partida.

CUADRADO EQUIVALENTE A UN RECTÁNGULO

Si queréis hallar el cuadrado equivalente a un rectángulo determinado debéis determinar previamente el segmento media proporcional de otros dos (los lados del cuadrado). Para ello deberemos utilizar el teorema del cateto o como en este caso el teorema de la altura. Aquí tenéis el ejercicio resuelto paso a paso con MONGGE.

CUADRADO EQUIVALENTE A UN CUADRILÁTERO

En cuanto al método para convertir un cuadrilátero cualquiera en un cuadrado equivalente, pasa por descomponer el cuadrilátero en dos triángulos de lado común (una de las diagonales del cuadrilátero). Y una vez hallado el rectángulo equivalente al cuadrilátero, estaremos en el caso anterior.

CUADRADO EQUIVALENTE A UN CÍRCULO
Para realizar este ejercicio debemos saber rectificar la semicircunferencia. De esta forma tendríamos el valor de πr.

Existen varios métodos para realizar la rectificación de una circunferencia. El método que os muestro aquí permite rectificar de una forma muy sencilla la semicircunferencia (ojo con esto, si quisiéramos hallar el valor de la rectificación de la circunferencia deberíamos multiplicar por dos el resultado). La rectificación de una semicircunferencia equivale a la suma de los lados del cuadrado y del triángulo inscritos en ella.

 

Para hacer los ejercicios en papel imprime esta lámina.

EJERCICIOS MÁS COMPLEJOS:

Aquí tenéis la solución a un ejercicio sobre equivalencias que salió en Selectividad en Murcia en el 2001. Se trata de un ejercicio algo más complejo que los que hemos hecho hasta ahora, pero probablemente tras ver el vídeo no os lo parecerá tanto.

Otro posible ejercicio es el que os propongo a continuación. Se trata de trazar el triángulo equilátero equivalente a un cuadrado determinado.
Y aquí os dejo otro ejercicio parecido que apareció en la PAU de Murcia en el 2003.

OPERACIONES CON SEGMENTOS

Con este applet vais a poder ver como multiplicar y dividir segmentos, así como hallar la tercera , la cuarta proporcional y también la media proporcional de dos segmentos (éste último concepto lo ampliaremos más adelante cuando veamos los teoremas de la altura y del cateto).

Os lo dejo enlazado, porque en esta ocasión es de un tamaño mucho mayor. Tan solo  tenéis que hacer clic sobre la imagen para acceder a la construcción.
Imprime la lámina que vamos a realizar.
-Producto de segmentos
-División de segmentos
-Tercera proporcional:
Es la igualdad de dos razones (fracciones) en las que conocidos dos elementos, uno de los cuales se repite (en dichas fracciones sus extremos o sus medios se repiten). 
En la fracción"x" es la tercera proporcional entre a y b (a/b y b/x serían fracciones equivalentes)

- Cuarta proporcional:

Es la igualdad de dos razones (fracciones), en la que son conocidos tres de sus elementos y desconocido el cuarto. La forma típica de una cuarta proporcional es a/b = c/x, donde a, b y c, son los tres segmentos conocidos, y x la incógnita.

Si conocemos los lados de un rectángulo y necesitamos trazar otro semejante conocido uno de sus lados, podría determinar el valor del restante mediante este sistema.

Si a=4 cm y b=2 cm, y conocemos el lado mayor de un segundo rectángulo semejante , c=6 cm, podríamos determinar gráficamente el valor de su otro lado (x=3)