Mediante el abatimiento de un plano oblicuo voy a poder determinar la verdadera magnitud de la figura plana contenida en él. Aquí tenéis un ejercicio muy similar a éste. En este caso la figura plana es un pentágono regular. Por si no recordáis como se hace el pentágono inscrito en una circunferencia aquí lo tenéis.
Intenta realizar en papel estos dos ejercicios, así como esta otra lámina
Debajo tenéis los ejercicios 17.1, 17.2 y 18.3 resueltos.



De cara al próximo examen os dejo unos cuantos ejercicios para que podáis repasar lo que hemos visto durante el último trimestre (no está todo, pero os puede venir bien).

ABATIMIENTOS: PUNTO, RECTA Y PLANO

En el SISTEMA DIÉDRICO las figuras contenidas en los planos no se aprecian en VERDADERA MAGNITUD salvo en los casos de paralelismo con los planos de proyección.
Para determinar dicha magnitud podemos utilizar varios métodos. Uno de ellos es el ABATIMIENTO de los planos haciendolos coincidir con uno de los de proyección,(vertical u horizontal) utilizando para ello como eje de giro o CHARNELA una de las trazas del plano (la horizontal si abatimos sobre este plano y la vertical si el abatimiento se realiza sobre el Vertical de Proyección).
De esta manera la charnela coincidirá con ella misma tras el abatimiento (será una recta de puntos dobles).
El primero de los casos que vamos a ver es el del ABATIMIENTO DE UN PUNTO.
Aitoreche dispone de una serie de vídeos con muy buenas explicaciones sobre el tema.

El siguiente ejercicio que vamos a realizar será el ABATIMIENTO DE UNA RECTA.
Para ello nos serviremos de los puntos dobles de la CHARNELA.
El punto traza de la recta sobre la charnela será a su vez un punto de la recta abatida, con lo cual el ejercicio se reduce al caso anterior, pues dos puntos determinan una recta.
El siguiente ejercicio a realizar será el abatimiento de un plano, cuyo interés radica en el hecho de abatir aquellos elementos que contiene el plano (formas planas) de forma que podamos observarlos en VERDADERA MAGNITUD.

Una vez que hayas comprendido cómo deben realizarse los abatimientos, prueba a realizar esta sencilla lámina.
Aquí tienes los enlaces a las soluciones de los ejercicios. Procura recurrir a ellos para comprobar las tuyas:
1.- Abatimiento de un punto sobre el plano horizontal.
2.- Abatimiento de un punto sobre el plano vertical.
3.- Abatimiento de una recta oblicua.

SECCIONES

Dentro de las aplicaciones de la intersección de rectas y planos, tenemos las intersecciones de pirámides y prismas con planos, que generan un punto de intersección con aristas del poliedro. La unión de dichos puntos sería la sección generada por dicho plano sobre el cuerpo.
El plano que hemos utilizado en este caso es proyectante vertical y la sección que genera en la pirámide puede apreciarse en proyecciones, así como en Verdadera Magnitud. Imprime ésta lámina y realiza las intersecciones de la pirámide con el plano proyectante y del prisma con el plano oblicuo. Ten en cuenta que se trata en realidad de intersecciones entre rectas y planos.

 En este segundo caso las aristas del prisma son rectas perpendiculares al plano horizontal, por lo que para hallar su intersección con el plano oblicuo deberemos utilizar planos que conteniendo a dichas aristas sean paralelos al plano vertical, es decir planos frontales (por si no recuerdas como hacerlo aquí tienes el ejercicio resuelto con una recta de punta y un plano horizontal).
La intersección de un plano frontal con uno oblicuo es una frontal de plano, que, intersecará a las aristas del prisma en un punto.
( En este caso hemos trazado tan sólo las rectas y no los planos horizontales que pasan por la proyección horizontal de las aristas y que coincide con los vértices de las bases al estar todos sus puntos  confundidos en dicha proyección).

SECCIONES PLANAS Y HOMOLOGÍA  
Este ejercicio podríais resolverlo ya, realizando la intersección de un plano oblicuo con las aristas de la pirámide que son a su vez rectas oblicuas (utilizando para ello planos proyectantes).
Por si no recordáis como hacerlo aquí tenéis el método.

El próximo año utilizaréis un método que simplifica la resolución del ejercicio y que consiste en aprovechar la relación de homología que existe entre la base y la sección producida por el plano secante (es el que he usado en este caso).
 Comprobad que los lados de la base y de la sección convergen al prolongarlos, en puntos dobles situados sobre la traza horizontal del plano. Imprime ésta lámina y realiza las intersecciones de pirámide y prisma con sendos planos oblicuos.

Aquí tenéis un ejercicio similar resuelto con Mongge por el usuario Antonio.

DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS PARALELOS

aulafacil.com

La distancia entre dos planos paralelos viene determinada por la intersección con ambos planos de una recta  perpendicular a ellos. El segmento determinado por los dos puntos de intersección (uno con cada plano) sobre dicha perpendicular será la distancia buscada.
Aquí tenéis el ejercicio tipo resuelto paso a paso.
Determina la distancia existente entre los dos planos paralelos.
Aitoreche en su canal de youtube tiene un vídeo en el que lo explica de forma muy clara. Aquí lo tenéis. Un posible ejercicio es éste en el que se nos pide que tracemos a una distancia concreta el plano paralelo a otro.
Este caso se resuelve trazando una recta perpendicular al plano (recordad que la perpendicularidad entre recta y plano se traduce en proyecciones perpendiculares).
Determinamos la intersección de recta y plano (que es un punto) y hallamos la distancia en Verdadera Magnitud que separa ambos planos.
Una vez determinado dicho punto, tan sólo deberemos trazar el plano paralelo al dado en el enunciado que a su vez contenga a dicho punto (para ello debermos utilizar una horizontal o una frontal del plano que buscamos).

SISTEMA DIÉDRICO: DISTANCIAS

La distancia en el Sistema Diédrico es la VERDADERA MAGNITUD (es decir, la medida real) de la separación entre puntos, planos y rectas en el espacio.
En proyecciones dichas medidas se ven reducidas por el efecto de la oblicuidad de dichos elementos respecto a los planos de proyección. Tan sólo habrá coincidencia entre la medida en proyecciones y la dimensión real en los casos de paralelismo con dichos planos. 

Con esta presentación comprenderéis mejor el concepto de DISTANCIA.
Enlace a la entrada sobre distancias de 10endibujo.com

Geometría Descriptiva. Distancias de dibutec
Aquí tenéis una página con la presentación en ppt con animaciones. 

El ejercicio 14.1 es muy sencillo ya que el segmento resultante de unir ambos puntos es una recta frontal (paralela al PV de proyección) y, en consecuencia vemos en ese plano la distancia en VM.

Aquí tenéis el ejercicio 14.2, en el que se nos pide que hallemos la distancia que separa a dos puntos en Verdadera Magnitud.

Ejercicio 14.3.

Ejercicio 14.4

El ejercicio, una vez hallado el plano que define la r.m.p. se convierte en éste.

Y aquí tenéis el ejercicio 15.1 en el que se nos pide hallar un punto que diste una distancia determinada de un plano (se trata en realidad de una variante del caso anterior). Debemos recordar que los problemas de distancias como éste, son en realidad  ejercicios de perpendicularidad.

Y por último tenéis el segundo de los ejercicios de esta lámina (15.2) en el que se nos pide que hallemos el plano que equidista de dos puntos A y B.

Y aquí tenéis el 15.4 en el que se nos pide trazar un plano paralelo a otro a una distancia determinada.

Si, como en el ejercicio 15.3 se nos pide determinar la distancia real entre dos planos paralelos, deberemos en primer lugar determinar la intersección de ambos planos con una recta perpendicular. Tendremos un punto de intersección con cada uno de ellos y después de hallar la distancia en proyecciones determinaremos la real de la forma que hemos visto en esta entrada.
Aquí lo tenéis.

Ejercicio PAU 2010. (Fase General)

Solución

PERPENDICULARIDAD ENTRE RECTAS

Si la PERPENDICULARIDAD se da entre rectas, las proyecciones de ambas no serán perpendiculares salvo que una de ellas sea paralela a uno de los planos de proyección con lo cuál se proyectarían sobre ese plano formando 90º.(12.1)

TRAZADO DE UNA RECTA QUE SEA PERPENDICULAR A OTRA DADA
Si  necesitamos trazar una recta perpendicular a otra cuando no se da el paralelismo respecto a los planos de proyección, debemos tener en cuenta que una recta es perpendicular a otra cuando una de las dos está contenida en un plano perpendicular a la otra (recordad que si la perpendicularidad se da entre recta y plano, ésta se aprecia también en proyecciones).

Aquí tenéis el ejercicio resuelto y explicado.

DISTANCIAS RECTA-PUNTO (ejercicios 12.3 y 12.4) Aplicación del concepto de perpendicularidad.

Nos dan un punto A y una recta r, y nos piden que tracemos el segmento mínima distancia entre ambos elementos.

Lo primero que debemos hacer es incluir el punto A en un plano perpendicular a la recta.

Recordemos que para que un punto pertenezca a un plano ha de pertenecer a una recta de ese plano.

Además debemos recordar que la perpendicularidad entre recta y plano se aprecia en proyecciones.

El siguiente paso será determinar el punto intersección de la recta dato con el plano perpendicular a ella y que contiene al punto A.

El segmento mínima distancia vendrá dado por la unión de dicho punto de intersección I, y el punto A.

-Ejercicio 12.3 Una recta es frontal.
Y aquí os dejo el ejercicio 12.4 resuelto (Mongge).
Se trata, en realidad, de un ejercicio de Distancias.

EvAU. Modelo 14/15 

-Solución
En este caso particular y dado que la recta dada es paralela al plano horizontal, la perpendicularidad entre el segmento BI (distancia entre el punto B y la recta, se verá en VM en la proyección horizontal.
Hemos utilizado, sin embargo un plano perpendicular a r que contuviera al punto A tras trazar una recta horizontal de dicho plano y, dado que el plano resultante es proyectante la intersección con la recta es inmediata.

PERPENDICULARIDAD (RECTA-PLANO)

En el caso de perpendicularidad entre rectas y planos en el SISTEMA DIÉDRICO nos vamos a encontrar con que, -al contrario de lo que ocurría con el paralelismo, ésta sí se va a ver reflejada en las proyecciones sobre los planos de referencia.

Esto es, si un plano y una recta son perpendiculares en el espacio, dicha perpendicularidad se verá reflejada en sus proyecciones. 

Es importante que dominemos el concepto de PERPENDICULARIDAD, ya que es la base sobre la que determinar las distancias entre planos, entre punto y plano, etc. 

Un ejemplo podría ser el trazado de la altura de una pirámide recta contenida en un plano oblicuo.

 Si se nos pide el trazado de un plano que conteniendo a un punto sea perpendicular a una recta dada deberemos en primer lugar hallar las trazas de una recta que contenga al punto, generalmente una horizontal o frontal de plano, debido a que una de sus proyecciones será paralela a la traza del plano buscado.(Aquí tenéis el ejercicio).

- Recta perpendicular a un plano por uno de sus puntos. Ej 11.1
- El ejercicio 11.2 lo tenéis en el vídeo de debajo y también en una animación con Mongge.
   Se trata en realidad de un ejercicio de distancias en proyecciones.
- Recta perpendicular a un plano definido por otras dos que se cortan. Ej 11.3
- Recta perpendicular a un plano definido por su recta de máxima pendiente. Ej 11.4
- Plano perpendicular a una recta conteniendo un punto. Ej 12.1

DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO 

La determinación de distancias es la aplicación más usual de la perpendicularidad.

 En el siguiente ejercicio hallaremos dicha distancia tan sólo en proyecciones, aunque lo realmente interesante será hallar la verdadera magnitud de dicha distancia (ese será el siguiente concepto que aprenderemos).

Tenéis el ejercicio en dos formatos. En el caso del vídeo está explicado paso a paso, pero os lo subo también en formato MONGGE para que podáis verlo al ritmo que queráis.

 Os enlazo otro ejercicio similar a éste. En este caso el plano es paralelo a la Línea de Tierra con lo cual la distancia entre el punto y el plano se verá en Verdadera Magnitud en el plano de perfil. AQUÍ tenéis el ejercicio resuelto.


EJERCICIO 12.2 En este ejercicio se nos pide que dibujemos un plano conteniendo a un punto A que es el más cercano a otro que nos dan en proyecciones, P. En realidad nos están diciendo que la recta que une ambos puntos es perpendicular a ese plano y que A es el punto de intersección de ambos. 

PARALELISMO

Se pueden dar casos de paralelismo entre:
1.- DOS RECTAS
2.- ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO
3.- ENTRE DOS PLANOS
Dicho paralelismo se reflejará en las proyecciones de dichos elementos en los casos 1 y 3, es decir, si dos rectas son paralelas en el espacio sus proyecciones homónimas también lo serán.
En el caso de que el paralelismo se de entre planos las respectivas trazas de dichos planos serán paralelas entre sí.
En cuanto al segundo caso, es interesante saber que si la relación de paralelismo se da entre recta y plano, las proyecciones de ambos no serán paralelas. Una recta será paralela a un plano cuando lo sea, al menos, a una recta de éste.

Aquí tenéis un vídeo de Ana Isabel Sánchez Cabanas en el que se os explica el PARALELISMO entre los distintos elementos de forma detallada y además simultáneamente en perspectiva y en el Sistema diédrico.


En el siguiente ejercicio se nos pide el trazado de un plano que conteniendo a una recta r sea además paralelo a otra recta s. Ejercicio 9.1
Ejercicio 9.2
Ejercicio 9.3
Ejercicio 9.4

El ejercicio 9.2, os lo dejo además, explicado en vídeo para que no os quepa ninguna duda sobre como resolverlo.

Una vez que realices la lámina 9 prueba a hacer ésta otra. Aquí os dejo un vídeo con los ejercicios de paralelismo que os he dado en clase.
 Por si os interesa verlos más despacio os los enlazo más abajo.



-Ejercicio 2
-Ejercicio 3
-Ejercicio 4
Aquí tenéis un applet de geogebra de forma que podáis entender mejor el segundo ejercicio en el que se nos pide el trazado de un plano paralelo a otro y que contenga además  a un punto A.
-Ejercicio 10.1
-Ejercicio 10.3    Versión más sencilla de este ejercicio
-Ejercicio 10.4

EJERCICIO EvAU de paralelismo:
Junio 2014. Solución