sábado, 10 de noviembre de 2018

HOMOTECIA

La HOMOTECIA es una transformación geométrica en el plano en la que, dado el centro de homotecia O y una razón de homotecia K0 que puede ser positiva + o negativa -, a todo punto A le corresponde otro punto A´, alineado con el centro de homotecia O, cumpliéndose que OA´/OA= k.
Se trata de una transformación ISOMÓRFICA dado que la figura que obtenemos tras su aplicación tiene la misma forma, aunque no necesariamente el mismo tamaño. La transformación puede ser así mismo DIRECTA (se conserva el sentido del plano), si K>0  o INVERSA (la figura homotética no conserva el sentido del plano de la original), si K<0.


  • Si los puntos A y A´están al mismo lado de O la homotecia es directa o positiva
  • Si los puntos A y A´están a ambos lados de O la homotecia es inversa o negativa
  • Si K=1 y el centro de Homotecia es propio, tenemos una identidad, donde A=A´.
  • Si K=-1 la homotecia se transforma en una simetría central (o un giro de 180º)
Prueba a modificar, con el deslizador K, la razón de homotecia, así como la forma y la posición tanto de la figura plana original como la situación del centro de homotecia para comprender mejor este concepto.
Comprueba que los segmentos homotéticos son paralelos y que los puntos homotéticos están siempre alineados con el centro de homotecia.

Anabel Sánchez (Profesora de Dibujo Técnico en el SEK) tiene una serie de vídeos muy interesantes con los que podréis comprender mejor este concepto.

-Ejercicios (nivel 1)




 Aquí tenéis una aplicación práctica: Se nos pide hallar la figura homotética de la que me dan, se trata de un hexágono regular y el centro O de homotecia está situado en el exterior de la figura. La figura homotética resultante será de menor tamaño que el hexágono original dado, ya que K=2/5. Puesto que la razón K es positiva el hexágono resultante estará entre el que me dan y el centro de homotecia.


Aquí vemos un caso de HOMOTECIA NEGATIVA o INVERSA. El centro de homotecia O, quedará entre las dos figuras: la dada y la resultante. Dado que K=-2 la figura resultante tendrá el doble de tamaño que la original y sentido contrario. O estará entre ambas figuras.
OA´=2OA´



Aquí tenéis otro caso de homotecia negativa o inversa, en la que además el centro de homotecia es un vértice del polígono.



Y un ejercicio más de HOMOTECIA POSITIVA, pero con la peculiaridad de que el centro de homotecia está en el centro del polígono.
Aquí os dejo algunos de los ejercicios que os he planteado resueltos.
Recordad que la HOMOTECIA es un tipo especial de semejanza entre figuras, de forma que los vértices de la figura original y su transformada están alineados con un punto denominado centro de homotecia.
Los lados de ambas figuras deben ser además paralelos entre sí, tanto si la homotecia es positiva como si es negativa.
EJERCICIOS
- Nivel 2 (ejercicios)

1.-Dados los transformados de los puntos E y D, determina tanto el centro de la Homotecia como el polígono resultante.


 - Solución
- Solución en vídeo


2.-Dibuja la figura homotética de la dada en una homotecia de centro el vértice A y razón K=2/3


- Solución
-Solución en vídeo



3.-Dado el hexágono dibujado, hallar su homotético de centro O y razón K=1/2
 -Solución
- Solución en vídeo


4.-Dibuja un cuadrado cuyos vértices se hallen sobre los del  triángulo dado.
-Solución(Mongge)
- Solución en vídeo
-Solución con GeoGebra






5.-Dadas las rectas r y s y el punto P, trazar otra recta concurrente con ellas y que pase por el punto dado. 
-Solución con GeoGebra





6.-Dibuja una figura semejante a la dada, de área 3 veces mayor. Recuerda que la relación de áreas es k2.


Solución con GeoGebra

https://ggbm.at/pBqBufarEl ejercicio número 6 es algo más complicado, dado que se trata de un ejercico de homotecia en el que se nos pide que tracemos una figura plana semejante a la anterior pero con un área 3 veces mayor. La razón de homotecia entre áreas equivale a la √  del número que nos den, en este caso 3.
Lo tenéis resuelto con GeoGebra y enlazado a la imagen. Recordad que para hallar la raíz cuadrada de un número utilizábamos el Teorema de la altura.







Por curiosidad y por si os interesa os dejo enlazados una par de ejercicios PAU en los que se utiliza esta transformación geométrica:
- PAU 2002/03
- PAU 2008/09

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