miércoles, 26 de noviembre de 2014

HOMOTECIA: EJERCICIOS

La HOMOTECIA es una transformación geométrica en el plano en la que, dado el centro de homotecia O y una razón de homotecia K0 que puede ser positiva + o negativa -, a todo punto A le corresponde otro punto A´, alineado con el centro de homotecia O, cumpliéndose que OA´/OA= k.
Se trata de una transformación ISOMÓRFICA dado que la figura que obtenemos tras su aplicación tiene la misma forma, aunque no necesariamente el mismo tamaño. La transformación puede ser así mismo DIRECTA (se conserva el sentido del plano), si K>0  o INVERSA (la figura homotética no conserva el sentido del plano de la original), si K<0.


  • Si los puntos A y A´están al mismo lado de O la homotecia es directa o positiva
  • Si los puntos A y A´están a ambos lados de O la homotecia es inversa o negativa
  • Si K=1 y el centro de Homotecia es propio, tenemos una identidad, donde A=A´.
  • Si K=-1 la homotecia se transforma en una simetría central (o un giro de 180º)
Prueba a modificar, con el deslizador K, la razón de homotecia, así como la forma y la posición tanto de la figura plana original como la situación del centro de homotecia para comprender mejor este concepto.
Comprueba que los segmentos homotéticos son paralelos y que los puntos homotéticos están siempre alineados con el centro de homotecia.


Anabel Sánchez (Profesora de Dibujo Técnico en el SEK) tiene una serie de vídeos muy interesantes con los que podréis comprender mejor este concepto.




 Aquí tenéis una aplicación práctica: Se nos pide hallar la figura homotética de la que me dan, se trata de un hexágono regular y el centro O de homotecia está situado en el exterior de la figura. La figura homotética resultante será de menor tamaño que el hexágono original dado, ya que K=2/5. Puesto que la razón K es positiva el hexágono resultante estará entre el que me dan y el centro de homotecia.


Aquí vemos un caso de HOMOTECIA NEGATIVA o INVERSA. El centro de homotecia O, quedará entre las dos figuras: la dada y la resultante. Dado que K=-2 la figura resultante tendrá el doble de tamaño que la original y sentido contrario. O estará entre ambas figuras.
OA´=2OA´



Aquí tenéis otro caso de homotecia negativa o inversa, en la que además el centro de homotecia es un vértice del polígono.



Y un ejercicio más de HOMOTECIA POSITIVA, pero con la peculiaridad de que el centro de homotecia está en el centro del polígono.
Aquí os dejo algunos de los ejercicios que os he planteado resueltos.
Recordad que la HOMOTECIA es un tipo especial de semejanza entre figuras, de forma que los vértices de la figura original y su transformada están alineados con un punto denominado centro de homotecia.
Los lados de ambas figuras deben ser además paralelos entre sí, tanto si la homotecia es positiva como si es negativa.
EJERCICIOS
El ejercicio que tenéis aquí resuelto es el de los que os he propuesto:

HALLA LA FIGURA HOMOTÉTICA A PARTIR DE DE LOS PUNTOS TRANSFORMADOS

...



 Os dejo también el   nº 5,  ejercicio 15, el nº 30 y el ejercicio nº 32
Del  ejercicio 14 os dejo la solución también en formato Mongge.

FIGURA HOMOTÉTICA (homotecia inversa)

Halla el cuadrado homotético del dado, en una homotecia de centro en O y razón K=-2/3

El ejercicio 30 lo tenéis también como una construcción de GeoGebra. 
También el número 32. Os lo dejo además con una explicación en vídeo.

Os dejo también resuelto el ejercicio 26. Observad que la distancia AB, siempre es el doble que la distancia AC aunque cambie la posición del punto A o la de las rectas.

Aqui tenéis el ejercicio 36 resuelto igualmente con GeoGebra.
Si lo queréis en formato Mongge, lo tenéis aquí.

El ejercicio número 4 es algo más complicado, dado que se trata de un ejercico de homotecia en el que se nos pide que tracemos una figura plana semejante a la anterior pero con un área 3 veces mayor. La razón de homotecia entre áreas equivale a la √  del número que nos den, en este caso 3.
Lo tenéis resuelto con GeoGebra y enlazado a la imagen. Recordad que para hallar la raíz cuadrada de un número utilizábamos el Teorema de la altura.

HOMOTECIA ENTRE CIRCUNFERENCIAS
Como podéis comprobar en este applet los centros de homotecia entre circunferencias están alineados con los centros de éstas. Los radios homotéticos son paralelos entre sí.
El centro de homotecia directo coincide con el punto de corte de la tangente común exterior con la línea de centros y el centro de homotecia inverso con el punto de intersección de dicha línea con la tangente común interior de ambas circunferencias.


Aquí tenéis resuelto en formato Mongge el ejercicio en el que se nos pide determinar los centros de Homotecia directa e inversa de dos circunferencias (ej 13).

HOMOTECIA ENTRE CIRCUNFERENCIAS


Algunos ejercicios de tangencias pueden resolverse también mediante una Homotecia como el que tenéis a continuación.

Y aquí tenéis el ejercicio 39. Se trata de un ejercicio  algo más difícil que los anteriores.
Mientras me animo a hacer un nuevo vídeo con las construcciones de GeoGebra os dejo éste que hice hace un par de años. Dado que ya hemos hecho los ejercicios en clase os servirá, espero, para repasarlos de cara al examen.


Por curiosidad y por si os interesa os dejo enlazados una par de ejercicios PAU en los que se utiliza esta transformación geométrica:
- PAU 2002/03
- PAU 2008/09

martes, 25 de noviembre de 2014

GIROS: EJERCICIOS DE APLICACIÓN

A pesar de que realizar un giro es relativamente sencillo, es difícil sin embargo "ver" en que ocasiones un ejercicio de transformaciones geométricas debe resolverse mediante un giro.
Os dejo uno de los que vamos a realizar sobre papel, en formato Mongge, para que podáis ver el procedimiento por pasos. Se trata del ejercicio nª 11.

Como podréis ver se puede resolver de dos formas:
 En la primera de ellas giraremos la circunferencia 60º, y en la segunda, que os dejo enlazada giraremos la recta el mismo ángulo. El centro de giro será el punto A, que es a su vez uno de los vértices del triángulo equilátero que me piden (hay dos posibles soluciones).

GIROS

Dibuja los posibles triángulos equiláteros que teniéndo el punto A como uno de sus vértices tienen otro apoyado sobre la recta dada y el tercero sobre la circunferencia.


Aquí tenéis el enlace al segundo método para resolver el ejercicio.
Os dejo igualmente un Applet de GeoGebra con este ejercicio para que podáis "manipular" la construcción y modificar los datos iniciales. Aquí tenéis resuelto otro ejercicio de giros que presenta también cierta dificultad.
Se trata en este caso de dibujar los posibles cuadrados que tienen dos de sus vértices apoyados sobre las rectas dadas, conociendo además uno de ellos.
 Existen múltiples variantes de este ejercicio, ya que se os pueden dar dos rectas paralelas, o bien pediros  un triángulo equilátero en vez de un cuadrado.
Tened en cuenta que si las rectas son paralelas las dos soluciones posibles tendrán el mismo tamaño, y que si las rectas son convergentes el tamaño será diferente, tanto en el caso del cuadrado como del triángulo.

CUADRADO APOYADO SOBRE DOS RECTAS CONVERGENTES (giro)

...


Para que podáis comprender mejor como funcionan este tipo de ejercicios os he preparado un Applet de GeoGebra, para que podáis modificar los parámetros y comprobar como en todos los casos podemos conseguir dos triángulos equiláteros apoyados sobre ambas rectas tras girar una de ellas 60º tomando como centro de giro el vértice A, hasta que ésta se corte con la otra en otro de los vértices, con lo que contaré ya con el lado del triángulo equilátero.
Probad a situar el punto A en otro lugar o cambiad la inclinación de las rectas, para comprobar que el resultado se mantiene (varía el tamaño de los triángulos, pero siguen siendo equiláteros).
Es interesante también que comprobéis que el resultado es el mismo tanto si giramos la recta r como si lo hacemos con s. (Tenéis el ejercicio enlazado a la imagen)

Debajo tenéis otra construcción pero en este caso lo que se nos pide trazar no es un triángulo, sino un cuadrado con un vértice apoyado sobre cada recta y el tercero en A, con lo que el giro deberá hacerse de 90º que es el ángulo que existe entre dos vértices consecutivos del polígono (en el caso del triángulo, éste era de 60º).


Otro  posible ejercicio podría ser éste, en el que se nos dan dos circunferencias y se nos pide que, con vértice en un punto A, situemos dos triángulos equiáteros de forma que tengan un vértice sobre cada una de las circunferencias dadas.
Y aquí tenéis otro ejercicio más en dos versiones (Mongge y GeoGebra). 

TRAZADO DE LOS TRIÁNGULOS EQUILÁTEROS CON SUS VÉRTICES APOYADOS SOBRE LAS RECTAS

Dibuja un triángulo equilátero de manera que tenga un vértice apoyado en cada recta.


Os dejo en formato vídeo una playlist con los cinco ejercicios que hemos visto por si os pudiera ayudar a la hora de repasarlos.

lunes, 24 de noviembre de 2014

SIMETRÍA: EJERCICIOS

Los ejercicios sobre mesa de billar son un típico ejemplo de la aplicación del concepto de SIMETRÍA.
Para resolverlos debemos saber que el ángulo de salida de la bola de billar al golpear la banda es igual al ángulo de incidencia.

En este ejercicio se nos pide que introduzcamos la bola roja en la tronera mediante un golpe a dos bandas.
Si queréis ver cómo puede resolverse acceded a la construcción enlazada a la imagen.

Simetría: Billar a dos bandas

El rectángulo MNOP representa una mesa de billar. El punto A es la última bola que debe introducirse en la tronera P mediante un golpe a dos bandas. Representa el recorrido de la bola.


En este segundo ejercicio el golpe no debe ser a dos, sino a tres bandasEl enlace está igualmente en la imagen.
 Es interesante que manipuléis ambas construcciones,  para comprobar como afecta al resultado la posición de partida de la bola.

Este otro ejercicio es similar a los anteriores en el sentido de que se trabaja con el concepto de reflexión, es decir, en el caso de la luz el ángulo con el que el rayo incide en el espejo es el mismo que el de salida. En este caso y si no se especifica nada más, habría dos posibles soluciones .

miércoles, 19 de noviembre de 2014

TRASLACIÓN: EJERCICIOS

La traslación es una sencilla transformación geométrica en la que desplazamos una figura plana según un vector orientado con una medida determinada.
Se trata de una transformación isométrica (mantiene las medidas) e isomórfica (la forma de la figura trasladada es la misma), con lo que ambas figuras serán congruentes. También decimos de ella que es una transformación directa ya que conserva el sentido del plano.
Aquí tenéis resueltos los ejercicios 20, 21 y 24 de los que os di de transformaciones.
No creo que os haga falta, pero aquí tenéis el ejercicio 20 también en formato Mongge.

Este ejercicio os lo dejo también hecho con Mongge.



Los ejercicios 25, 28 y 29 son también de aplicación de este concepto. Si habéis entendido estos no creo que os resulten muy difíciles.

domingo, 16 de noviembre de 2014

MOVIMIENTOS EN EL PLANO

Todas las culturas han utilizado simetrías, traslaciones y giros en sus manifestaciones artísticas, han jugado,casi siempre con sorprendentes resultados plásticos, con los movimientos en el plano. La Naturaleza también nos brinda un exquisito muestrario de estos movimientos.
La Geometría Dinámica se hace arte en los frisos y sobre todo en los mosaicos que rellenan el plano. En el programa "Más por menos" investigan la forma de construirlos y las leyes matemáticas que permiten realizar estas auténticas obras de arte. 

Los movimientos en el plano son los cambios de posición de una figura tras aplicarle una o varias traslaciones, simetrías (axial o central) y o giros. Dichos movimientos pueden aplicarse combinados, con lo que obtendremos lo que se denomina un producto de movimientos.
A cada punto de la figura inicial siempre le corresponde uno de la figura imagen y viveversa.

Estas transformaciones pueden ser directas o inversas.

-Son transformaciones directas aquellas que como la traslación o el giro conservan el sentido del plano.

-La simetría axial no conserva el sentido del plano, por lo que estaríamos hablando de una transformación inversa.


TRASLACIÓN
 Trasladar una figura es aplicarle un vector (vector de traslación) para desplazarla en el plano según una dirección y magnitud determinadas.
Os dejo enlazada la construcción de GeoGebra para que podáis manipularla:
-Traslación y producto de traslaciones.



El producto de dos traslaciones es otra traslación, cuyo vector vendrá determinado por los puntos homólogos de la figura original y la segunda de las imágenes obtenidas.


 SIMETRÍA
La simetría es una transformación geométrica isomórfica (porque conserva la forma)e  isométrica (porque mantiene el tamaño). La simetría axial es además una transformación inversa, ya que no conserva el sentido del plano.
Podemos hablar de dos tipos de simetría:
-Simetría axial:
La figura transformada sufre una semirrotación respecto a un eje (denominado eje de simetría). El producto de dos simetrías puede ser una traslación (en el caso de que los ejes sean paralelos), o bien un giro (en el caso de ejes que se cortan).


-Simetría central
Se corresponde con un giro de 180º
El producto de dos simetrías centrales es una traslación.

Os dejo un vídeo para que entendáis mejor éste concepto. Si queréis acceder a los archivos originales os  dejo aquí los enlaces de GeoGebratube:
-Simetría (mariposa).
-Producto de simetrías (Jirafa).


Si la aplicamos dos ejes de simetría paralelos a una figura, lo que en realidad estamos haciendo es trasladarla, como puedes ver en este applet.


 
En lo que respecta a la Simetría Central, aquí tenéis otra construcción interactiva de GeoGebra.
 La figura imagen aparece rotada 180º respecto a la original.

 

Aquí tienes un par de ejercicios para realizar sobre simetrías axial y central.
Os dejo un ejercicio similar al primero de ellos en formato Mongge.

PRODUCTO DE SIMETRÍAS

Halla la figura simétrica a la dada respecto a los dos ejes. El producto de dos simetrías es un giro, determina el centro de éste.


Otro tipo de simetría es la SIMETRÍA RADIAL.
Cuando una figura presenta una simetría radial puede ser girada de manera que su forma vuelva a coincidir consigo misma tras el giro. En el caso del cristal de nieve, la simetría que presenta es de orden seis, ya que su forma coincide este número de veces en una vuelta.
Os dejo este applet más lúdico para que lo comprobéis. Podéis cambiar el color y el grosor  del trazado con los deslizadores. Si queréis desplazaros a otro punto de la imagen sin dejar rastro debéis poner el deslizador del grosor en cero y actualizar el botón del trazo.





Enlazados a la imagen tenéis otros dos applets con los que hacer algo similar, pero pudiendo variar el número de ejes de simetría entre 3 y 12. En uno de ellos podéis seleccionar el color y en el segundo éste varía en función de la posición del cursor.
Recuerda desmarcar la casilla del ejemplo para hacer tu propio mandala.






GIRO:
Al girar una figura plana le aplicamos un movimiento de rotación alrededor de un punto que funciona como centro de dicho giro. Dicha rotación puede hacerse tanto en sentido horario como antihorario.
Si unimos dos puntos homólogos con el centro de giro tendremos el ángulo de rotación.
Haz clic en la imagen para ver la construcción.

En el caso de los giros vamos a aprender a realizar dicha transformación situando el centro de giro en tres posibles situaciones:
- Con el centro de giro en un vértice de la figura.
- Con el centro en su interior.
- Con el centro,O de giro en un punto exterior.

Recordad que los puntos que son homólogos de sí mismos se llaman puntos dobles. En el primer supuesto el vértice B, al ser además el centro del giro, es un punto doble.
(Descárgate los ejercicios y resuélvelos. Los tienes en la sección de EJERCICIOS en formato PDF)

 Por si se os resisten los ejercicios os los dejo resueltos en formato Mongge.

GIRO DE UNA FIGURA PLANA

...


Aquí tenéis también un applet de GeoGebra para que veáis de qué dos formas se puede girar una recta (nos hará falta en más de un ejercicio de aplicación de este concepto), y modificando la situación del centro, el ángulo de giro o incluso la posición de la recta , podréis comprobar que el resultado es el mismo.

SOBRE LA ANAMORFOSIS

Durante la última clase, estuvimos hablando de las transformaciones geométricas y de cómo pueden o no conservar la forma (isomórficas) y/o el tamaño (isométricas). Por lo que respecta a las transformaciones que no conservan la forma (anamórficas) tenéis como ejemplo el mapa de África que Marga pintó en el parking del IES, las señales pintadas en la carretera y que están ideadas para ser vistas desde un ángulo determinado y algunos cuadros colocados en escaleras y pensados para ser observados al subirlas o bajarlas. 

He encontrado en un maravilloso blog de plásticaeduplastica ,una estupenda aplicación de este concepto.
 

Y aquí tenéis otro ejemplo de ANAMORFOSIS realizado por alumnos de Dibujo Técnico de 2º de Bachillerato del IES  Pablo Neruda.

Jean François Nicerón






Dentro del grupo de las anamorfosis tenemos las conocidas como anamorfosis cilíndricas. Si os interesa saber más sobre ellas haced clic sobre la imagen.

Hans Holbein "el joven"





Enlazada a la imagen del cuadro "Los embajadores" de Hans Holbein "el joven",  tenéis una interesantísima actividad de recursosticeducacion que incluye una construcción de GeoGebra que desvela con recursos geométricos el secreto de una figura anamórfica incluída en el cuadro (os hará falta Java para visualizarla).



Aquí tenéis otra aplicación de la anamorfosis que el artista holandés Julien Beaver utiliza de forma magistral.




También podemos encontrar interesantes ejemplos de su uso en el campo de la publicidad.

Aquí tenéis el making of del anuncio.

martes, 11 de noviembre de 2014

IGUALDAD ENTRE FORMAS PLANAS

Existen varias formas de reproducir una figura plana de forma que obtengamos otra con el mismo tamaño y la misma forma. Aquí tenéis cuatro.

lunes, 10 de noviembre de 2014

EQUIVALENCIAS



Decimos que dos superficies planas son equivalentes cuando tienen distinta forma e igual área.
En el caso de la imagen podemos apreciar que los tres triángulos tienen la misma base y la misma altura.
Dado que el área de un triángulo equivale al producto de la base por la altura, podemos asegurar que en los tres casos la superficie es la misma.


Podemos obtener también un rectángulo equivalente a un triángulo.
Éste tendrá la misma base y la mitad de la altura del triángulo, ya que el área de ambos será              base x altura/2
Las figuras están coloreadas así para que podamos apreciar su equicomposición, es decir, las formas  de las que están compuestas ambas son las mismas.

Podemos con facilidad eliminar un lado de un polígono ya que los triángulos son equivalentes si manteniendo su base, su altura no se modifica.
De esta forma podemos eliminar uno o más lados de cualquier polígono, hasta convertirlo si así lo deseamos en un triángulo equivalente al polígono de partida.


CUADRADO EQUIVALENTE A UN RECTÁNGULO
Si queréis hallar el cuadrado equivalente a un rectángulo determinado debéis determinar previamente el segmento media proporcional de otros dos (los lados del cuadrado). Para ello deberemos utilizar el teorema del cateto o como en este caso el teorema de la altura. Aquí tenéis el ejercicio resuelto paso a paso con MONGGE.

CUADRADO EQUIVALENTE A UN RECTÁNGULO

Halla el cuadrado equivalente al rectángulo dado.


CUADRADO EQUIVALENTE A UN CUADRILÁTERO
En cuanto al método para convertir un cuadrilátero cualquiera en un cuadrado equivalente, pasa por descomponer el cuadrilátero en dos triángulos de lado común (una de las diagonales del cuadrilátero). Y una vez hallado el rectángulo equivalente al cuadrilátero, estaremos en el caso anterior.

CUADRADO EQUIVALENTE A UN CUADRILÁTERO

Halla un cuadrado equivalente al cuadrilátero dado.




CUADRADO EQUIVALENTE A UN CÍRCULO
Para realizar este ejercicio debemos saber rectificar la semicircunferencia. De esta forma tendríamos el valor de πr.




Existen varios métodos para realizar la rectificación de una circunferencia. El método que os muestro aquí permite rectificar de una forma muy sencilla la semicircunferencia (ojo con esto, si quisiéramos hallar el valor de la rectificación de la circunferencia deberíamos multiplicar por dos el resultado). La rectificación de una semicircunferencia equivale a la suma de los lados del cuadrado y del triángulo inscritos en ella.



Para hacer los ejercicios en papel imprime esta lámina.

EJERCICIOS MÁS COMPLEJOS:
Aquí tenéis la solución a un ejercicio sobre equivalencias que salió en Selectividad en Murcia en el 2001. Se trata de un ejercicio algo más complejo que los que hemos hecho hasta ahora, pero probablemente tras ver el vídeo no os lo parecerá tanto.
Otro posible ejercicio es el que os propongo a continuación. Se trata de trazar el triángulo equilátero equivalente a un cuadrado determinado.

TRIÁNGULO EQUILÁTERO EQUIVALENTE A UN CUADRADO DE LADO CONOCIDO


Y aquí os dejo otro ejercicio parecido que apareció en la PAU de Murcia en el 2003.

Cuadrado equivalente a la superficie rayada de la figura.

Determina el cuadrado equivalente a la zona rayada de la figura.

miércoles, 5 de noviembre de 2014

PROPORCIONALIDAD: TEOREMAS DE LA ALTURA Y EL CATETO


Es importante que sepáis hallar el segmento media proporcional de otros dos, sobre todo de cara al tema de equivalencias entre figuras planas (por ejemplo, para determinar el lado de un cuadrado equivalente a un rectángulo de lados conocidos).
La media proporcional de dos segmentos, es igual a la raíz cuadrada del producto de dichos segmentos. Se da cuando en una proporción, que denominamos continua, los medios o los extremos se repiten (x/a=b/x, o a/x=x/b por ejemplo).
Gracias a este concepto, podéis determinar también gráficamente la raíz cuadrada de un segmento (utilizando para ello además del segmento del que queremos hallar la raíz cuadrada el segmento unidad).
Los TEOREMAS DE LA ALTURA Y DEL CATETO se pueden demostrar atendiendo a la condición de semejanza entre triángulos. En estos dos casos partimos de un triángulo rectángulo.

Aquí tenéis la demostración del TEOREMA DE LA ALTURA.



Para aquellos a los que les cueste ver la semejanza entre los triángulos he preparado este vídeo.





En lo que respecta al TEOREMA DEL CATETO, podemos enunciar que:
En todo triángulo rectángulo cada uno de los catetos es media proporcional entre la Hipotenusa del triángulo y su proyección sobre ella.
En este caso es aún más sencillo demostrar la semejanza entre triángulos, ya que ABC y ADC, comparten un lado y un ángulo, y son además rectángulos (es decir, otro de sus ángulos es de 90º) con lo que el tercer ángulo tendrá el mismo valor. Ambos triángulos tienen pues los lados proporcionales, es decir: AB/AC=AC/AD, es decir, AC equivale a la raíz cuadrada del producto AD y AB.
Os dejo un nuevo applet interactivo de GeoGebra de forma que podáis modificar los datos y ver como los cambios afectan al resultado, así como comprobar la semejanza de ambos triángulos.
Si quereis acceder a la lámina sobre proporcionalidad haced clic aquí.
Y aquí teneis cuatro ejercicios de aplicación de los Teoremas del cateto y de la altura

Os dejo resuelto paso a paso el ejercicio tercero, en el que se os pide hallar gráficamente la raíz cuadrada de un segmento (tan sólo he cambiado la medida del segmento). 

RAÍZ CUADRADA DE UN SEGMENTO

Halla gráficamente la raíz cuadrada de un segmento de 90 mm

sábado, 1 de noviembre de 2014

NÚMERO DE ORO











La proporción áurea es el nombre que se dio en el siglo XIX a una relación de proporcionalidad entre las dos partes de un segmento de forma que una de ellas, la áurea es media proporcional de las otras dos.





 La división entre la totalidad del segmento (a+b) y el segmento mayor (segmento áureo=a), es igual a la división entre el segmento áureo y la división menor (b) e igual al número "Phi", dicho número equivale a 1,618.

Os recomiendo que veáis estos vídeos, en los que se os explica tanto el concepto, como su importancia (esta proporción está presente en la naturaleza en numerosas formas, y se dice de ella que es la proporción de la belleza).

Dicho número ha intrigado por igual a matemáticos, filósofos y artistas y guarda relación con la famosa Sucesión de Fibonacci.

Esta proporción se halla presente en el pentágono regular (de hecho su lado es el segmento áureo de su diagonal) .
En este applet podéis apreciar las relaciones áureas que se establecen entre por ejemplo el lado y la diagonal del pentágono regular, así como entre otra serie de sus elementos. La magnitud del lado se puede modificar, pero veréis que la proporción se mantiene.











Esta proporción se halla presente en la naturaleza, para bien y para mal, como podéis apreciar en esta fotografía del huracán Sandy que encontré en un interesantísimo blog de matemáticas que os enlazo aquí. El autor del blog ha llamado al fenómeno FIBOSANDY.




Leonardo da Vinci utiliza también la Divina Proporción en su Hombre de Vitrubio.

Proporción aurea
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Después de estudiar la CONSTRUCCIÓN DEL PENTÁGONO y la SECCIÓN ÁUREA realiza ésta lámina
EJERCICIOS RESUELTOS:
Ejercicios 1 y 2
- Ejercicio 3
- Ejercicio 4
- Ejercicio 5
Para realizar el ejercicio 6 necesitáis trazar un rectángulo áureo. En este caso el trazado está hecho partiendo del lado menor.
El rectángulo áureo puede subdividirse en nuevos rectángulos que, aún siendo de menor tamaño conservan la proporción áurea en la relación entre sus lados. Dentro de él se puede dibujar además la espiral logarítmica que se halla presente repetidas veces en la naturaleza.