lunes, 27 de enero de 2014

SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN (GEOMETRÍA DESCRIPTIVA)

La Geometría descriptiva es un conjunto de técnicas de carácter geométrico que permite representar el espacio tridimensional sobre una superficie bidimensional y, por tanto, resolver en dos dimensiones los problemas espaciales garantizando la reversibilidad del proceso a través de la adecuada lectura.

El cómo representar y  reconocer las formas de los cuerpos depende de la utilización de una operación elemental llamada proyección. 

Para representar un objeto en un plano, se recurre  a hacer pasar por todos los puntos notables del objeto, lineas de proyección, que al incidir sobre el plano dan los puntos proyectados correspondientes (intersecciones).
El
tipo de proyección va a depender fundamentalmente de que el foco sea un punto propio  (perspectiva cónica o lineal, en la que el punto propio sería el vértice del cono), o impropio (perspectiva cilíndrica, llamada así porque las lineas de proyección son paralelas entre sí).

Podemos clasificar asimismo los SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN, en dos grandes grupos en función de que el objeto representado presente sus dimensiones en verdadera magnitud o no. Estaríamos hablando de  SISTEMAS DE MEDIDA o DE SISTEMAS PERSPECTIVOS. 

SISTEMAS DE MEDIDA:
-SISTEMA DIÉDRICO (vistas múltiples) y
-SISTEMA ACOTADO (proyección de una sola vista)


SISTEMAS PERSPECTIVOS:
-PERSPECTIVA AXONOMÉTRICA
-PERSPECTIVA CABALLERA
-PERSPECTIVA CÓNICA O LINEAL
  

Sistemas De RepresentacióN (animaciones) from chielfen
Aquí tenéis los apuntes del tema.

Una vez vista la introducción comenzaremos la obtención de vistas de piezas representadas con axonometrías (generalmente perspectiva isométrica o caballera), ya que es más sencillo hacerlo así que obtener la perspectiva a partir de las vistas diédricas.

Por Paloma M en ISSUU



Cuando trabajamos con el SISTEMA DIÉDRICO debemos tener en cuenta que se trata de un sistema de proyecciones cilíndrico ortogonal (las lineas que en su intersección con el plano definen la proyección son paralelas entre sí, como lo son las generatrices de un cilindro, y son a su vez perpendiculares al plano). 


El SISTEMA DIÉDRICO es un sistema de medida, pues  obtenemos las dimensiones del objeto en verdadera magnitud, pero eso sí, tan solo podemos observar en cada una de las vistas dos de las tres dimensiones del objeto.
Como todos los sistemas de representación se trata de un sistema reversible,es decir, que a partir de las vistas del objeto podemos obtener su representación perspectiva o incluso construir el propio objeto.


http://www.geogebratube.org/student/m37104?mobile=true

El proceso de obtención de las vistas de un objeto, bien a partir del propio objeto o de su representación mediante uno de los sistemas denominados perspectivos, no reviste especial complejidad, pero, dado que esto es relativo y que hace tiempo que no lo hacéis (desde 3º de ESO), os aconsejo que utilicéis una herramienta de la página educacionplastica.net que puede seros de gran utilidad antes de enfrentaros a piezas con un grado mayor de dificultad.


Si deseas practicar, hallando las vistas de  piezas relativamente sencillas, en una aplicación que además te permite girar la pieza en el espacio haz clic aquí




Si  queréis seguir practicando, aquí tenéis otra herramienta con la que tendréis que decidir cuál de las cuatro soluciones es la correcta. 
Si necesitáis hacer aún más ejercicios, en la misma página dibujotecnico.com, en su sección de fotocopiadora tenéis más ejercicios para imprimir.
Si queréis disponer de un TRATADO más completo, en el que se nos habla también del SISTEMA AMERICANO, así como de la forma de decidir el cómo y porqué de la elección de las distintas vistas, así como de otros recursos como los cortes, secciones y roturas podéis estudiar los siguientes APUNTES.


Si a alguno os interesa saber por qué se utilizan símbolos para distinguir el sistema con el que estamos trabajando podéis averiguarlo aquí (se trata de un extracto de la página de Antonio Castilla: TRAZOIDE.COM)

Os dejo un ejemplo realizado con GeoGebra de cuatro piezas  con sus correspondientes vistas.


Debajo os dejo las piezas que habéis visto en el applet de GeoGebra subidas a la galería 3D Warehouse de SketchUp, de forma que podáis manipularlas y comprobar así sus vistas. (Podéis verlas a pantalla completa).

Aquí tenéis las piezas en isométrica de las que tenéis que obtener las vistas.
Y en este otro enlace os dejo las que tenéis que realizar a partir de una perspectiva caballera.

Os dejo un vídeo con mis primeros pinitos con la versión 5.0 beta de GeoGebra que incluye una nueva vista 3D perfecta para la visualización de sólidos.

lunes, 20 de enero de 2014

CURVAS CÓNICAS: PARÁBOLA (ejercicios)

La parábola es una curva plana y abierta, que se define como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan (están a la misma distancia) de un punto fijo F, llamado foco y de una recta fija llamada directriz.
Tiene un eje de simetría en el que se sitúan el foco, el vértice de la parábola y el punto D, de corte del eje con la directriz (que es perpendicular al eje).
DV=VF
La circunferencia focal es, en esta curva cónica la, directriz. Allí estarán los simétricos del FOCO respecto de las tangentes trazadas a la curva.


Puede definirse también la parábola como el lugar geométrico de los centros de las circunferencias que pasando por el foco son tangentes a la directriz.


Al igual que en los casos de la ELIPSE y la HIPÉRBOLA, existe la circunferencia principal, que es aquí de radio infinito y se transforma en la perpendicular al eje por el vértice. Es como en las demás cónicas el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas a las tangentes a la curva desde los focos (lo cuál nos permite hallar el foco  a partir de una tangente, la dirección del eje y el vértice por ejemplo).


Además de los ejercicios que haremos en clase podéis realizar alguno de los que propone R. Barbieri en su BLOG:dibujotecnicoonline.com y que tiene resueltos paso a paso. 

En este vídeo podéis ver como se construye la PARÁBOLA por puntos.

Aquí tenéis en formato Mongge uno de los ejercicios de Parábolas en el que nos dan tan sólo un punto y el Foco de la curva.
Y otro con el trazado de la tangente a la curva paralela a una dirección dada.

- Ejercicio 2. Parábola conocidos dos puntos y el foco.
- Ejercicio 3. Parábola conocidos el foco y dos tangentes.
- Ejercicio 4. Parábola dados el foco y una tangente.

Para que os resulten más fáciles de comprender los ejercicios que hemos realizado en clase os  he grabado tres de ellos. 
Espero que de esta manera, os queden claros algunos conceptos como el de la DIRECTRIZ , que es la circunferencia focal de la parábola; que es de radio infinito por ser el otro foco un punto impropio, con lo que se transforma en una recta. En la directriz hallaríamos los simétricos del foco respecto de las tangentes a la curva.




Y aquí tenéis entre otros ejercicios, la tangente a la parábola paralela a una dirección dada, así como el ejercicio anterior.

Os dejo el ejercicio que cayó en el examen para que comprobéis que no era tan difícil.

miércoles, 15 de enero de 2014

CURVAS CÓNICAS: HIPÉRBOLA

La HIPÉRBOLA es una curva plana, abierta (lo que la diferencia de la ELIPSE), con dos ramas.
Dispone de dos ejes
El EJE REAL que contiene los focos: F1F2=2c y los vértices de la curva que podemos denominar AB, AA´,VV¨, etc. En todos estos casos y aunque haya diferencias de nomenclatura, esa distancia se denomina  2a
Al EJE VIRTUAL, perpendicular al eje real podemos denominarlo CD, BB¨, etc, pero en todos los casos será igual a 2b.


DEFINICIÓN
Puede definirse como el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a otros dos fijos llamados focos es constante e igual a la magnitud del eje real AB=2a
Si quieres saber como construir la elipse por puntos, haz clic aquí
CIRCUNFERENCIA FOCAL Y CIRCUNFERENCIA PRINCIPAL
En lo que respecta a estos dos conceptos, las definiciones que nos servían para la ELIPSE sirven igualmente para la HIPÉRBOLA.
Existen DOS CIRCUNFERENCIAS FOCALES (igual que en la elipse), cada una de ellas con centro en uno de los focos. Se podría definir la CIRCUNFERENCIA FOCAL, como el lugar geométrico de los puntos simétricos del otro foco respecto de las tangentes trazadas a la curva. El radio de dichas circunferencias es 2a=AB, es decir la magnitud del eje real.

La CIRCUNFERENCIA PRINCIPAL tiene como centro O (punto de corte de los ejes real y virtual)RADIO a (semieje real). Se define como el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas a las tangentes a la curva.


En este vídeo se os explica como trazar las tangentes a la HIPÉRBOLA desde un punto exterior:


Os dejo en formato Mongge varios de los ejercicios que vamos a realizar en clase:
1.- Construcción de la HIPÉRBOLA por puntos.
2.- Construir una HIPÉRBOLA de la que conocemos sus asíntotas y el valor del eje real AB.
3.- Construir una HIPÉRBOLA conociendo los FOCOS y un punto P.
4.- Construir una HIPÉRBOLA conocidos los FOCOS y una TANGENTE t.
5.- HIPÉRBOLA conociendo el eje real y la tangente t1.
6.- HIPÉRBOLA conociendo un FOCO y tres tangentes.


Además de los ejercicios que vamos a realizar en clase sería conveniente que intentarais resolver éste. Se trata de un ejercicio de Selectividad del año 2009 que podríais resolver ya.


ENUNCIADO:
Trazar las tangentes desde un punto P a la hipérbola de focos F y F' que pasa por un punto Q. Obtener gráficamente los puntos de tangencia, sin dibujar la curva.

Os dejo la solución explicada en el vídeo y por si queréis verla a vuestro ritmo os dejo el enlace al ejercicio en formato Mongge.

Una vez que hayáis visto el vídeo es interesante que manipuléis la construcción de GeoGebra que os dejo debajo.



Otro ejercicio que podéis intentar resolver es éste:
Dibujar la hipérbola conocidos un foco F, dos tangentes t1 y t2 y la magnitud del semieje mayor o real a.
También aquí tenéis la solución en formato Mongge y en vídeo. 
Como en el caso del anterior ejercicio os dejo una construcción interactiva de GeoGebra.

miércoles, 8 de enero de 2014

CURVAS CÓNICAS: ELIPSE (Ejercicios)

ELIPSE


Aquí tenéis los enlaces a unos estupendos VÍDEOS (realizados por Aitor Echevarría) con los CONCEPTOS más importantes sobre esta CURVA CÓNICA:
-ELIPSE: Definición, elementos y propiedades más importantes.
-RECTAS TANGENTES A UNA ELIPSE desde un punto exterior P (ejercicio 3.2).
-TANGENTES A LA ELIPSE PARALELAS a una DIRECCIÓN dada (ejercicio 10).
En este caso el ejercicio está resuelto utilizando la circunferencia focal. Os dejo en formato mongge otra forma de solucionarlo utilizando para ello la circunferencia principal.

Elipse: Tangentes paralelas a una dirección (circunferencia principal).

Dada una elipse efinida por sus ejes mayor y menor y una recta r, trazar las tangentes a ella paralelas a r.


Aquí tenéis también en formato Mongge la construcción de la ELIPSE dados los ejes AB y CD

 Os dejo también un applet interactivo de GeoGebra para intentar aclararos sus elementos y propiedades.

ELIPSE: EJERCICIOS



Os dejo en formato Mongge el ejercicio del trazado de rectas paralelas a una dirección dada tangentes a una elipse definida por sus focos y conocida la magnitud 2a (ej 3.1)

ELIPSE: Determinar tangentes y punto de tangencia paralelas a una dirección dada

Determina las rectas tangentes (y su punto exacto de tangencia) a la ELIPSE definida por sus dos focos y de eje mayor 2a= 80



Otros ejercicios que podéis realizar son los siguientes:

-Dados los ejes mayor y menor de una elipse dibújala por afinidad (ejercicio 1).

- Determinar los ejes de la elipse a partir de los dos focos y uno de sus puntos P (ejercicio 2).
 - Dado un punto P de la elipse, una tangente t y el eje menor CD, dibujar el punto de tangencia de la elipse con T (ejercicio 3).
-Tangente a una elipse por un punto P (ejercicio 4).
- El ejercicio 5 lo tenéis en vídeo debajo.
-Ejes de una elipse dados un foco, una tangente y las magnitudes 2a y 2c. (ejercicio 6)
-Obtener los ejes de la elipse conociendo un foco, dos tangentes y el punto de tangencia de una de ellas (ejercicio 7).
Os dejo el ejercicio explicado también en formato vídeo.


-Rectas tangentes a una ELIPSE desde un punto exterior P (ejercicio 3.2).

-Hallar los parámetros de una elipse conocidos sus focos y una tangente t (ejercicio 3.3. Lo tenéis también en vídeo).



Aquí os dejo las soluciones  de los ejercicios 3.3 y 3.4 de ELIPSE en formato vídeo.
Es importante que tengáis claros los conceptos de CIRCUNFERENCIA FOCAL, así como el de CIRCUNFERENCIA PRINCIPAL
Procurad no memorizar nunca los ejercicios, ya que si lo hacéis así, no podréis resolver problemas similares en los que se modifican tan sólo las posiciones de los datos, y sobre todo y lo que es peor, olvidaréis rápidamente lo "aprendido" . En  cualquier materia es importante que la estudiéis después de comprenderla. En el caso del DIBUJO TÉCNICO es imprescindible hacerlo así.



En este segundo caso, que puede solucionarse de otra forma  (utilizando la circunferencia focal), os pido que lo hagáis utilizando la CIRCUNFERENCIA PRINCIPAL (lugar geométrico de los pies de las perpendiculares a las tangentes a la curva trazadas desde los focos).

sábado, 4 de enero de 2014

CURVAS CÓNICAS

Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas intersección entre un cono y un plano; siempre que dicho plano no pase por el vértice.
Se clasifican en tres tipos: ELIPSE, PARÁBOLA e HIPÉRBOLA.

Para ayudaros a comprender los conceptos relacionados con las CURVAS CÓNICAS: DEFINICIÓN, PARÁMETROS Y PROPIEDADES tenéis esta potentísima herramienta interactiva diseñada  por Jose Antonio CUADRADO.


Son estupendos también los applets interactivos de Luis Pérez sobre curvas cónicas. Además podréis encontrar en su página innumerables problemas resueltos por pasos.

Si os interesa conocer los USOS DE LAS CURVAS CÓNICAS EN LA VIDA REAL no dejéis de ver este capítulo de "MÁS POR MENOS"

Con este applet de GeoGebra comprenderéis mejor conceptos como el de los focos de una cónica, así como el de sus directrices.
Puedes desplazar el plano que genera la cónica, moviendo los puntos A y B, y modificar la posición del punto P, para comprobar que se mantiene constante la excentricidad de cada sección cónica.