miércoles, 5 de noviembre de 2014

PROPORCIONALIDAD: TEOREMAS DE LA ALTURA Y EL CATETO


Es importante que sepáis hallar el segmento media proporcional de otros dos, sobre todo de cara al tema de equivalencias entre figuras planas (por ejemplo, para determinar el lado de un cuadrado equivalente a un rectángulo de lados conocidos).
La media proporcional de dos segmentos, es igual a la raíz cuadrada del producto de dichos segmentos. Se da cuando en una proporción, que denominamos continua, los medios o los extremos se repiten (x/a=b/x, o a/x=x/b por ejemplo).
Gracias a este concepto, podéis determinar también gráficamente la raíz cuadrada de un segmento (utilizando para ello además del segmento del que queremos hallar la raíz cuadrada el segmento unidad).
Los TEOREMAS DE LA ALTURA Y DEL CATETO se pueden demostrar atendiendo a la condición de semejanza entre triángulos. En estos dos casos partimos de un triángulo rectángulo.

Aquí tenéis la demostración del TEOREMA DE LA ALTURA.



Para aquellos a los que les cueste ver la semejanza entre los triángulos he preparado este vídeo.





En lo que respecta al TEOREMA DEL CATETO, podemos enunciar que:
En todo triángulo rectángulo cada uno de los catetos es media proporcional entre la Hipotenusa del triángulo y su proyección sobre ella.
En este caso es aún más sencillo demostrar la semejanza entre triángulos, ya que ABC y ADC, comparten un lado y un ángulo, y son además rectángulos (es decir, otro de sus ángulos es de 90º) con lo que el tercer ángulo tendrá el mismo valor. Ambos triángulos tienen pues los lados proporcionales, es decir: AB/AC=AC/AD, es decir, AC equivale a la raíz cuadrada del producto AD y AB.
Os dejo un nuevo applet interactivo de GeoGebra de forma que podáis modificar los datos y ver como los cambios afectan al resultado, así como comprobar la semejanza de ambos triángulos.
Si quereis acceder a la lámina sobre proporcionalidad haced clic aquí.
Y aquí teneis cuatro ejercicios de aplicación de los Teoremas del cateto y de la altura

Os dejo resuelto paso a paso el ejercicio tercero, en el que se os pide hallar gráficamente la raíz cuadrada de un segmento (tan sólo he cambiado la medida del segmento). 

RAÍZ CUADRADA DE UN SEGMENTO

Halla gráficamente la raíz cuadrada de un segmento de 90 mm

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