domingo, 16 de noviembre de 2014

MOVIMIENTOS EN EL PLANO

Todas las culturas han utilizado simetrías, traslaciones y giros en sus manifestaciones artísticas, han jugado,casi siempre con sorprendentes resultados plásticos, con los movimientos en el plano. La Naturaleza también nos brinda un exquisito muestrario de estos movimientos.
La Geometría Dinámica se hace arte en los frisos y sobre todo en los mosaicos que rellenan el plano. En el programa "Más por menos" investigan la forma de construirlos y las leyes matemáticas que permiten realizar estas auténticas obras de arte. 

Los movimientos en el plano son los cambios de posición de una figura tras aplicarle una o varias traslaciones, simetrías (axial o central) y o giros. Dichos movimientos pueden aplicarse combinados, con lo que obtendremos lo que se denomina un producto de movimientos.
A cada punto de la figura inicial siempre le corresponde uno de la figura imagen y viveversa.

Estas transformaciones pueden ser directas o inversas.

-Son transformaciones directas aquellas que como la traslación o el giro conservan el sentido del plano.

-La simetría axial no conserva el sentido del plano, por lo que estaríamos hablando de una transformación inversa.


TRASLACIÓN
 Trasladar una figura es aplicarle un vector (vector de traslación) para desplazarla en el plano según una dirección y magnitud determinadas.
Os dejo enlazada la construcción de GeoGebra para que podáis manipularla:
-Traslación y producto de traslaciones.



El producto de dos traslaciones es otra traslación, cuyo vector vendrá determinado por los puntos homólogos de la figura original y la segunda de las imágenes obtenidas.


 SIMETRÍA
La simetría es una transformación geométrica isomórfica (porque conserva la forma)e  isométrica (porque mantiene el tamaño). La simetría axial es además una transformación inversa, ya que no conserva el sentido del plano.
Podemos hablar de dos tipos de simetría:
-Simetría axial:
La figura transformada sufre una semirrotación respecto a un eje (denominado eje de simetría). El producto de dos simetrías puede ser una traslación (en el caso de que los ejes sean paralelos), o bien un giro (en el caso de ejes que se cortan).


-Simetría central
Se corresponde con un giro de 180º
El producto de dos simetrías centrales es una traslación.

Os dejo un vídeo para que entendáis mejor éste concepto. Si queréis acceder a los archivos originales os  dejo aquí los enlaces de GeoGebratube:
-Simetría (mariposa).
-Producto de simetrías (Jirafa).


Si la aplicamos dos ejes de simetría paralelos a una figura, lo que en realidad estamos haciendo es trasladarla, como puedes ver en este applet.


 
En lo que respecta a la Simetría Central, aquí tenéis otra construcción interactiva de GeoGebra.
 La figura imagen aparece rotada 180º respecto a la original.

 

Aquí tienes un par de ejercicios para realizar sobre simetrías axial y central.
Os dejo un ejercicio similar al primero de ellos en formato Mongge.

PRODUCTO DE SIMETRÍAS

Halla la figura simétrica a la dada respecto a los dos ejes. El producto de dos simetrías es un giro, determina el centro de éste.


Otro tipo de simetría es la SIMETRÍA RADIAL.
Cuando una figura presenta una simetría radial puede ser girada de manera que su forma vuelva a coincidir consigo misma tras el giro. En el caso del cristal de nieve, la simetría que presenta es de orden seis, ya que su forma coincide este número de veces en una vuelta.
Os dejo este applet más lúdico para que lo comprobéis. Podéis cambiar el color y el grosor  del trazado con los deslizadores. Si queréis desplazaros a otro punto de la imagen sin dejar rastro debéis poner el deslizador del grosor en cero y actualizar el botón del trazo.





Enlazados a la imagen tenéis otros dos applets con los que hacer algo similar, pero pudiendo variar el número de ejes de simetría entre 3 y 12. En uno de ellos podéis seleccionar el color y en el segundo éste varía en función de la posición del cursor.
Recuerda desmarcar la casilla del ejemplo para hacer tu propio mandala.






GIRO:
Al girar una figura plana le aplicamos un movimiento de rotación alrededor de un punto que funciona como centro de dicho giro. Dicha rotación puede hacerse tanto en sentido horario como antihorario.
Si unimos dos puntos homólogos con el centro de giro tendremos el ángulo de rotación.
Haz clic en la imagen para ver la construcción.

En el caso de los giros vamos a aprender a realizar dicha transformación situando el centro de giro en tres posibles situaciones:
- Con el centro de giro en un vértice de la figura.
- Con el centro en su interior.
- Con el centro,O de giro en un punto exterior.

Recordad que los puntos que son homólogos de sí mismos se llaman puntos dobles. En el primer supuesto el vértice B, al ser además el centro del giro, es un punto doble.
(Descárgate los ejercicios y resuélvelos. Los tienes en la sección de EJERCICIOS en formato PDF)

 Por si se os resisten los ejercicios os los dejo resueltos en formato Mongge.

GIRO DE UNA FIGURA PLANA

...


Aquí tenéis también un applet de GeoGebra para que veáis de qué dos formas se puede girar una recta (nos hará falta en más de un ejercicio de aplicación de este concepto), y modificando la situación del centro, el ángulo de giro o incluso la posición de la recta , podréis comprobar que el resultado es el mismo.

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