lunes, 29 de septiembre de 2014

POLÍGONOS: TRIÁNGULOS (Propiedades y Puntos notables)

Los triángulos son figuras planas formadas por tres puntos no alineados y por tres segmentos que los unen dos a dos (los tres puntos son los vértices y los tres segmentos son los lados).
Los vértices se designan con letras mayúsculas (generalmente las primeras del abecedario) y los lados opuestos a los ángulos con las mismas letras minúsculas.

PROPIEDADES DE LOS TRIÁNGULOS
-La suma de los ángulos interiores de un triángulo tiene un valor de 180º
-Cada lado de un triángulo debe ser menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.
-A mayor lado se opone mayor ángulo.





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Las rectas y puntos notables de un triángulo son:

.-Las mediatrices, que se cortan en un punto llamado circuncentro ,centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.

-Las medianas, que se cortan en el baricentroG, centro de gravedad del triángulo.

-Las bisectrices, que se cortan en el incentro, centro de la circunferencia inscrita del triángulo.

-Las alturas, que se cortan en el ortocentro.


CIRCUNCENTRO

Si quieres ver cómo se construye paso a paso haz clic en la imagen.


El CIRCUNCENTRO es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidista de los tres vértices de un triángulo. Debido a esta condición es, a su vez el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo (de ahí su nombre).
Para construirlo deberemos hallar el punto de corte de las mediatrices del triángulo.

En los dibujos podéis observar que el circuncentro puede quedar dentro del triángulo, sobre la hipotenusa o fuera del triángulo, dependiendo de si se trata respectivamente de un triángulo acutángulo, rectángulo u obtusángulo.

BARICENTRO


El BARICENTRO es el punto de corte de las medianas de un triángulo.
La mediana une el punto medio de cada lado con el vértice opuesto.


 Dichas medianas se van a cortar siempre en un punto interior del triángulo.

El BARICENTRO tiene una propiedad física interesante: es el centro de gravedad 
del triángulo.


En las medianas de cualquier triángulo el BARICENTRO está situado a 2/3  del vértice opuesto y, en consecuencia a 1/3 del punto medio del lado correspondiente.



Ocurre también que si unimos los puntos medios de los lados obtenemos un triángulo semejante al original (es decir con valores angulares iguales y lados proporcionales), en el que los lados son paralelos a los del triángulo original y la mitad de su magnitud.

Si quieres saber cómo se construye paso a paso haz clic aquí.





INCENTRO

El punto de corte de las BISECTRICES de los ángulos interiores de un triángulo recibe el nombre de INCENTRO. Dicho punto estaría situado pues, por definición a la misma distancia de los lados del triángulo, es decir sería el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.
Para saber cómo construirlo paso a paso haz clic aquí.

Si trazáramos las BISECTRICES de los ángulos exteriores del triángulo hallaríamos en su punto de corte los EXINCENTROS.
Puedes modificar la posición de los puntos A,B y C.





ORTOCENTRO

El punto de corte de las alturas de un triángulo es el ORTOCENTRO (H). 
Se denomina altura  a cada una de las distancias perpendiculares de cada vértice al lado opuesto. Se designan por h y el subíndice correspondiente a su vértice.
Para ver su construcción haz clic en la imagen.

Si el triángulo es acutángulo el ORTOCENTRO quedará en su interior, si es rectángulo se encontrará en el vértice del ángulo recto, y si fuera obtusángulo el ORTOCENTRO sería exterior al triángulo. 

En este applet tienes tanto los puntos como las rectas notables de un triángulo cuyas dimensiones puedes modificar.
Tienes más información sobre la circunferencia de Feuerbach en ésta página.

Comprueba también activando simultáneamente las casillas del circuncentro(mediatrices) y del incentro (bisectrices) que ambas rectas convergen en puntos de la circunferencia circunscrita. 
 
Aquí tenéis en formato Mongge el trazado de la Circunferencia de Feuerbach.

Circunferencia de los 9 puntos o de Feuerbach

Trazado de la circunferencia de Feuerbach o de los 9 puntos.

 

Existen una serie de triángulos asociados al principal que podéis apreciar en este applet interactivo de GeoGebra.
Si quieres saber más puedes acceder a la siguiente página de WIKILLERATO.
También es muy completo el TEMA DE EDITEX sobre POLÍGONOS, por si quisieras ampliar información.


Para descargar los ejercicios básicos sobre rectas y puntos notables pincha aquí.
Para acceder a la ficha con los problemas que vamos a realizar sobre triángulos y cuadriláteros pincha aquí.

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