lunes, 29 de septiembre de 2014

POLÍGONOS: TRIÁNGULOS (Propiedades y Puntos notables)

Los triángulos son figuras planas formadas por tres puntos no alineados y por tres segmentos que los unen dos a dos (los tres puntos son los vértices y los tres segmentos son los lados).
Los vértices se designan con letras mayúsculas (generalmente las primeras del abecedario) y los lados opuestos a los ángulos con las mismas letras minúsculas.

PROPIEDADES DE LOS TRIÁNGULOS
-La suma de los ángulos interiores de un triángulo tiene un valor de 180º
-Cada lado de un triángulo debe ser menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.
-A mayor lado se opone mayor ángulo.





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Las rectas y puntos notables de un triángulo son:

.-Las mediatrices, que se cortan en un punto llamado circuncentro ,centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.

-Las medianas, que se cortan en el baricentroG, centro de gravedad del triángulo.

-Las bisectrices, que se cortan en el incentro, centro de la circunferencia inscrita del triángulo.

-Las alturas, que se cortan en el ortocentro.


CIRCUNCENTRO

Si quieres ver cómo se construye paso a paso haz clic en la imagen.


El CIRCUNCENTRO es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidista de los tres vértices de un triángulo. Debido a esta condición es, a su vez el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo (de ahí su nombre).
Para construirlo deberemos hallar el punto de corte de las mediatrices del triángulo.

En los dibujos podéis observar que el circuncentro puede quedar dentro del triángulo, sobre la hipotenusa o fuera del triángulo, dependiendo de si se trata respectivamente de un triángulo acutángulo, rectángulo u obtusángulo.

BARICENTRO


El BARICENTRO es el punto de corte de las medianas de un triángulo.
La mediana une el punto medio de cada lado con el vértice opuesto.


 Dichas medianas se van a cortar siempre en un punto interior del triángulo.

El BARICENTRO tiene una propiedad física interesante: es el centro de gravedad 
del triángulo.


En las medianas de cualquier triángulo el BARICENTRO está situado a 2/3  del vértice opuesto y, en consecuencia a 1/3 del punto medio del lado correspondiente.



Ocurre también que si unimos los puntos medios de los lados obtenemos un triángulo semejante al original (es decir con valores angulares iguales y lados proporcionales), en el que los lados son paralelos a los del triángulo original y la mitad de su magnitud.

Si quieres saber cómo se construye paso a paso haz clic aquí.





INCENTRO

El punto de corte de las BISECTRICES de los ángulos interiores de un triángulo recibe el nombre de INCENTRO. Dicho punto estaría situado pues, por definición a la misma distancia de los lados del triángulo, es decir sería el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.
Para saber cómo construirlo paso a paso haz clic aquí.

Si trazáramos las BISECTRICES de los ángulos exteriores del triángulo hallaríamos en su punto de corte los EXINCENTROS.
Puedes modificar la posición de los puntos A,B y C.





ORTOCENTRO

El punto de corte de las alturas de un triángulo es el ORTOCENTRO (H). 
Se denomina altura  a cada una de las distancias perpendiculares de cada vértice al lado opuesto. Se designan por h y el subíndice correspondiente a su vértice.
Para ver su construcción haz clic en la imagen.

Si el triángulo es acutángulo el ORTOCENTRO quedará en su interior, si es rectángulo se encontrará en el vértice del ángulo recto, y si fuera obtusángulo el ORTOCENTRO sería exterior al triángulo. 

En este applet tienes tanto los puntos como las rectas notables de un triángulo cuyas dimensiones puedes modificar.
Tienes más información sobre la circunferencia de Feuerbach en ésta página.

Comprueba también activando simultáneamente las casillas del circuncentro(mediatrices) y del incentro (bisectrices) que ambas rectas convergen en puntos de la circunferencia circunscrita. 
 
Aquí tenéis en formato Mongge el trazado de la Circunferencia de Feuerbach.

Circunferencia de los 9 puntos o de Feuerbach

Trazado de la circunferencia de Feuerbach o de los 9 puntos.

 

Existen una serie de triángulos asociados al principal que podéis apreciar en este applet interactivo de GeoGebra.
Si quieres saber más puedes acceder a la siguiente página de WIKILLERATO.
También es muy completo el TEMA DE EDITEX sobre POLÍGONOS, por si quisieras ampliar información.


Para descargar los ejercicios básicos sobre rectas y puntos notables pincha aquí.
Para acceder a la ficha con los problemas que vamos a realizar sobre triángulos y cuadriláteros pincha aquí.

viernes, 19 de septiembre de 2014

ARCO CAPAZ

Un concepto algo más complejo es el de ARCO CAPAZ.
Llamamos ARCO CAPAZ al lugar geométrico de los puntos del plano desde los cuales se ve un segmento de dicho plano, bajo un mismo ángulo. 

Debéis fijaros en que el lado del ángulo semiinscrito que no es cuerda de la circunferencia es, en realidad la tangente a la circunferencia por el vértice (tiene tan solo un punto en común con ella). Como veremos más adelante en el tema de tangencias, el radio que pasa por el punto de tangencia es perpendicular a la recta tangente, de ahí que dibujemos el ángulo complementario (ambos suman 90º) del dado para localizar en el punto de corte con la mediatriz del segmento el centro del arco capaz.


Por si os interesa ver el ejercicio a vuestro ritmo, os lo dejo también en formato Mongge.
Debajo tenéis dos construcciones realizadas con GeoGebra. En ambas podéis modificar el ángulo y comprobar cómo el que se forma con vértice en C que puede desplazarse a lo largo de dicho arco.

 
Con este otro applet podréis conocer sobre todo el fundamento de la construcción.
 
Os dejo enlazada la lámina que vamos a hacer sobre arco capaz.


EJERCICIOS DE APLICACIÓN DEL CONCEPTO DE ARCO CAPAZ:

En el siguiente ejercicio debemos localizar los posibles puntos desde los que se "ven" dos localidades A y B, bajo un ángulo determinado desde la proa de una embarcación.

Prueba a modificar el ángulo, definido por un deslizador, así como la separación entre los puntos dados .

jueves, 18 de septiembre de 2014

LA CIRCUNFERENCIA

LA CIRCUFERENCIA (y el punto medio de las cuerdas como lugar geométrico).

 PROPIEDADES:
-Por tres puntos no alineados pasa una circunferencia. Si realizamos la mediatriz de dos de las cuerdas que definen esos tres puntos obtendremos el centro de la circunferencia.

-En una misma circuferencia todas las cuerdas del mismo tamaño abarcan arcos iguales.
(prueba a activar la animación en la construcción para comprobar que existe otro lugar geométrico que determinan los puntos medios de las cuerdas de un mismo tamaño dentro de una circunferencia).
-La mediatriz de una cuerda divide a esta y a su arco en dos partes iguales y pasa siempre por el centro de la circunferencia, determinando un diámetro (que es la cuerda mayor de la circunferencia).

Es importante también que veamos los ángulos en la circunferencia con mayor profundidad.
Aquí tenéis un applet de GeoGebra, con el que podéis comprobar la relación que existe entre el ángulo central e inscrito.
El valor del ángulo central es siempre doble que el del inscrito que abarca la misma cuerda.

Colocando los lados de ambos de forma que coincidan con el diámetro de la circunferencia se hace más sencillo demostrar que el valor del ángulo central es del doble que el del inscrito.
El ángulo en BOC es igual a 180º - 2 beta , dado que BOC es un triángulo isósceles, con dos lados iguales que son los radios de la circunferencia y con dos ángulos iguales por tanto.
La suma de los ángulos de un triángulo equivale a 180º.
El ángulo BOC es también igual a 180º -alfa, dado que son ángulos adyacentes (consecutivos y que suman 180º). De donde alfa= 2 beta 
 Los ángulos pueden ser además de inscritos, semiinscritos y centrales, interiores y exteriores a la circunferencia. El ángulo semiinscrito tiene como el inscrito la mitad del valor que el ángulo central que abarca su cuerda inscrita.Si desplazas el vértice hasta el interior de la circunferencia podrás comprobar que el ángulo se convierte en interior y que su valor equivale a la semisuma de los ángulos centrales que abarcan sus lados.
En el caso de que el ángulo sera exterior su valor sería el de su semidiferencia.

miércoles, 17 de septiembre de 2014

TRAZADOS FUNDAMENTALES II (GeoGebra)



Aquí os dejo en PDF la lámina con los enunciados y los datos, así como un código QR que os lleva a la construcción de GeoGebra.
 
Aunque más adelante trataremos el tema más a fondo, es interesante que conozcáis lo que es la base de la semejanza y la proporcionalidad:
El Teorema de Tales, que nos va a permitir dividir un segmento en partes iguales, o bien en partes proporcionales a otras.
Desde la fotografía podéis acceder a un enlace de librosvivos.net, donde os dan más detalles.



Puedes modificar el ángulo que forma la semirrecta con el segmento AB, para comprobar que el resultado es invariable.
Otra opción es cambiar la magnitud de los segmentos que llevamos sobre dicha semirrecta, arrastrando el punto C a lo largo de ésta, así como modificar la magnitud del segmento AB.

En el caso de que queramos dividir un segmento en partes proporcionales a otras se procede de un modo parecido.
Os enlazo una construcción de Luis Pérez en la que podéis ver cómo hacerlo.

lunes, 15 de septiembre de 2014

CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS FUNDAMENTALES (lugares geométricos)

En esta estupenda presentación de Fernando Jiménez  podéis ver los principales TRAZADOS GEOMÉTRICOS. Se trata de TRAZADOS FUNDAMENTALES porque vamos a necesitarlos para realizar otros muchos, más complejos, que estudiaremos más adelante.
Es importante que aclaremos en primer lugar el concepto de LUGAR GEOMÉTRICO.

Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una determinada condición o tienen una propiedad común.
De esta forma podemos enunciar conceptos basados en dicha definición:

MEDIATRIZ: 
Mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos. Probablemente la definición que conocéis es la de que se trata de la perpendicular AL SEGMENTO por su punto medio (cosa que es cierta, pero esta otra es mucho más completa).
BISECTRIZ:
La bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de las rectas que forman el ángulo (lados). En cursos pasados se os dio una definición más sencilla: Bisectriz de un ángulo es la semirrecta que divide un ángulo en dos partes iguales.



En base a la definición de LUGAR GEOMÉTRICO podemos decir, por ejemplo, que una CIRCUNFERENCIA es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de otro fijo denominado CENTRO.

 

 Otro lugar geométrico sería la PARALELA MEDIA
Recta paralela a otras dos y que equidista de ellas. Todos las secantes trazadas a ambas rectas paralelas quedan interceptadas por estas en su punto medio, sea cual sea la dirección de dichas secantes. Compruébalo en este applet.

Otro ejercicio interesante puede ser el siguiente:
Por el punto B se hacen pasar rectas, y desde A trazaremos perpendiculares a éstas. Los puntos de intersección de esas perpendiculares con las rectas son los pies de las perpendiculares.

Aquí tenéis las láminas que vamos a realizar en clase sobre trazados fundamentales y trazados fundamentales 2 ,lugares geométricos y distancias . (Puedes imprimirlas)


Lámina 1.- Paralelismo y perpendicularidad (con regla y compás)
Ej 1.- Mediatriz de un segmento (construcción GeoGebra)
Ej 2.- Perpendicular a una recta por un punto A de ella
Ej 3.- Perpendicular a una recta por un punto A exterior
Ej 4.- Trazar una perpendicular a una semirrecta por su extremo (2 métodos). Método 2
Ej 5.- Paralela a una recta a una distancia determinada de ella.
Ej 6.- Recta paralela a otra por un punto exterior A. (método del compás)


domingo, 7 de septiembre de 2014

MATERIALES

Es importante que conozcáis el material que vamos a utilizar y, dado que hace ya dos años que no los usáis y que en muchos casos no estará en condiciones (bordes mellados o inexistentes) debido a caídas u otro tipo de accidentes, es muy probable que tengáis que reponerlo.


 Para empezar necesitaréis:
- Un juego de ESCUADRA y CARTABÓN: Os recomiendo que sean pequeñas (16 cm), de canto recto (sin bisel) y sin medidas. Si disponéis de unas de mayor tamaño de años anteriores podéis usarlas sin problema siempre y cuando pasen la ITV.
 Las plantillas pequeñas son bastante cómodas para tomar apuntes y realizar ejercicios de pequeño formato.
Aparte lógicamente de fijaros en el número que aparece en las plantillas para determinar si forman parte del mismo juego, debéis saber que la hipotenusa de la escuadra debe tener la misma medida que el cateto mayor del cartabón.

- REGLA: de unos 30 centímetros (el tamaño mayor con el que vamos a trabajar es DIN A4).

- COMPÁS: Es importante que elijáis un compás de calidad para poder trazar con cierta precisión. Es conveniente que las dos patas sean articuladas, y que tengáis siempre la mina de grafito afilada (de forma cónica o biselada). Algunos compases llevan incorporado un pequeño portaminas, pero cada vez son más difíciles de encontrar porque apenas se usan ya los estilógrafos de tinta china.

- LÁPIZ 2H o PORTAMINAS 0,5: Si os inclináis por el portaminas recordad que 0,5 es el diámetro de la mina y la dureza debe ser la misma que la del lápiz (2H).
A algunos os suele resultar cómodo utilizar colores para tomar apuntes. Existen además minas de color para portaminas.

- GOMA DE BORRAR y SACAPUNTAS (si usas lápiz)

- ARCHIVADOR DIN A4: Es importante que mantengáis los apuntes y los ejercicios que vayamos haciendo ordenados. Recordad además que se os pedirán al finalizar cada trimestre y que suponen un 10% de la calificación de cada evaluación (no da buena impresión, y ya me ha ocurrido, encontrar apuntes de Filosofía entre los de Dibujo)
- FOLIOS: Tamaño DIN A4




Antes de repasar conceptos sencillos vistos en otros cursos , debemos recordar el MANEJO DE LA ESCUADRA Y EL CARTABÓN para el trazado de paralelas y perpendiculares (recordad que debéis mantenerlas siempre limpias. Podéis hacerlo con agua y jabón y secarlas bien antes de usarlas de nuevo).
 Os dejo un vídeo que os aclarará si dudáis sobre la forma de colocar las reglas:




Además del trazado de paralelas y perpendiculares es importante que dominemos el juego de escuadra y cartabón para construir ángulos.

ORÍGENES Y USOS DEL DIBUJO TÉCNICO


Dibujo técnico:orígenes, clasificación y usos from Arte_Factory

 Las preciosas imágenes que puedes ver a continuación me las ha "prestado" Luis Pérez Vega (muchas gracias Luis).
Si haces clic sobre ellas podrás ir a la fuente original, es decir a su página web.
Vorderasiatisches Museum. Berlin                                                            Musée du Louvre. París
Ambos planos datan alrededor del año 2000 a.C. y son por tanto las primeras manifestaciones del uso del Dibujo Técnico en la Historia.

La Geometría y el Arte están íntimamente relacionados como puedes comprobar en esta presentación en formato vídeo de Mª Carmen Lanzón.
Puedes ver más ejemplos así como una buena colección de ejercicios en su página web.